Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13973 / 3897
↖ ↑ ↗
← N 79.574472°
W 26.488037°		 ← 221.06 m → N 79.574472°
W 26.477051°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
N 79.572483°
W 26.488037°		 ← 221.11 m →
48 876 m²		 N 79.572483°
W 26.477051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426437377929688 y=0.118942260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426437377929688 × 215)
    floor (0.426437377929688 × 32768)
    floor (13973.5)     		tx = 13973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118942260742188 × 215)
    floor (0.118942260742188 × 32768)
    floor (3897.5)     		ty = 3897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13973 / 3897 ti = "15/13973/3897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13973/3897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13973 ÷ 215
    13973 ÷ 32768     		x = 0.426422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3897 ÷ 215
    3897 ÷ 32768     		y = 0.118927001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426422119140625 × 2 - 1) × π
    -0.14715576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46230346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118927001953125 × 2 - 1) × π
    0.76214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39435226222256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46230346} λ = -0.46230346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39435226222256))-π/2
    2×atan(10.9610958432822)-π/2
    2×1.47981643056229-π/2
    2.95963286112459-1.57079632675     		φ = 1.38883653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46230346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.488037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38883653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.574472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13973 KachelY 3897 -0.46230346 1.38883653 -26.488037 79.574472
    Oben rechts KachelX + 1 13974 KachelY 3897 -0.46211171 1.38883653 -26.477051 79.574472
    Unten links KachelX 13973 KachelY + 1 3898 -0.46230346 1.38880183 -26.488037 79.572483
    Unten rechts KachelX + 1 13974 KachelY + 1 3898 -0.46211171 1.38880183 -26.477051 79.572483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38883653-1.38880183) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38883653-1.38880183) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46230346--0.46211171) × cos(1.38883653) × R
    0.000191749999999991 × 0.180957362098772 × 6371000     		do = 221.064616116311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46230346--0.46211171) × cos(1.38880183) × R
    0.000191749999999991 × 0.18099148912551 × 6371000     		du = 221.10630703166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38883653)-sin(1.38880183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180957362098772-0.18099148912551)×R²
    abs(-0.46211171--0.46230346)×3.41270267379956e-05×R²
    0.000191749999999991×3.41270267379956e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.41270267379956e-05×40589641000000     		ar = 48876.1810114846m²