Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13973 / 18545
↖ ↑ ↗
← N 61.309815°
W103.244019°		 ← 293.25 m → N 61.309815°
W103.238525°		 →
↑
293.26 m
↓
↑
293.26 m
↓
N 61.307177°
W103.244019°		 ← 293.28 m →
86 002 m²		 N 61.307177°
W103.238525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213218688964844 y=0.282981872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213218688964844 × 216)
    floor (0.213218688964844 × 65536)
    floor (13973.5)     		tx = 13973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282981872558594 × 216)
    floor (0.282981872558594 × 65536)
    floor (18545.5)     		ty = 18545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13973 / 18545 ti = "16/13973/18545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13973/18545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13973 ÷ 216
    13973 ÷ 65536     		x = 0.213211059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18545 ÷ 216
    18545 ÷ 65536     		y = 0.282974243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213211059570312 × 2 - 1) × π
    -0.573577880859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80194806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282974243164062 × 2 - 1) × π
    0.434051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36361304659212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80194806} λ = -1.80194806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36361304659212))-π/2
    2×atan(3.91029589104112)-π/2
    2×1.32042722735843-π/2
    2.64085445471687-1.57079632675     		φ = 1.07005813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80194806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.244019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07005813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.309815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13973 KachelY 18545 -1.80194806 1.07005813 -103.244019 61.309815
    Oben rechts KachelX + 1 13974 KachelY 18545 -1.80185218 1.07005813 -103.238525 61.309815
    Unten links KachelX 13973 KachelY + 1 18546 -1.80194806 1.07001210 -103.244019 61.307177
    Unten rechts KachelX + 1 13974 KachelY + 1 18546 -1.80185218 1.07001210 -103.238525 61.307177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07005813-1.07001210) × R
    4.60300000000302e-05 × 6371000     		dl = 293.257130000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07005813-1.07001210) × R
    4.60300000000302e-05 × 6371000     		dr = 293.257130000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80194806--1.80185218) × cos(1.07005813) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.480073236552056 × 6371000     		do = 293.253447056021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80194806--1.80185218) × cos(1.07001210) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.480113614867285 × 6371000     		du = 293.278112209639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07005813)-sin(1.07001210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480073236552056-0.480113614867285)×R²
    abs(-1.80185218--1.80194806)×4.03783152290171e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.03783152290171e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.03783152290171e-05×40589641000000     		ar = 86002.2808777763m²