Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13972 / 3218
↖ ↑ ↗
← N 80.841404°
W 26.499024°		 ← 194.45 m → N 80.841404°
W 26.488037°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
N 80.839656°
W 26.499024°		 ← 194.48 m →
37 812 m²		 N 80.839656°
W 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426406860351562 y=0.0982208251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426406860351562 × 215)
    floor (0.426406860351562 × 32768)
    floor (13972.5)     		tx = 13972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982208251953125 × 215)
    floor (0.0982208251953125 × 32768)
    floor (3218.5)     		ty = 3218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13972 / 3218 ti = "15/13972/3218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13972/3218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13972 ÷ 215
    13972 ÷ 32768     		x = 0.4263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3218 ÷ 215
    3218 ÷ 32768     		y = 0.09820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09820556640625 × 2 - 1) × π
    0.8035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.52454888159064
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46249521} λ = -0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52454888159064))-π/2
    2×atan(12.4852616616103)-π/2
    2×1.49087250562587-π/2
    2.98174501125174-1.57079632675     		φ = 1.41094868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41094868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.841404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13972 KachelY 3218 -0.46249521 1.41094868 -26.499024 80.841404
    Oben rechts KachelX + 1 13973 KachelY 3218 -0.46230346 1.41094868 -26.488037 80.841404
    Unten links KachelX 13972 KachelY + 1 3219 -0.46249521 1.41091816 -26.499024 80.839656
    Unten rechts KachelX + 1 13973 KachelY + 1 3219 -0.46230346 1.41091816 -26.488037 80.839656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41094868-1.41091816) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dl = 194.442919999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41094868-1.41091816) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dr = 194.442919999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46249521--0.46230346) × cos(1.41094868) × R
    0.000191749999999991 × 0.159167797525033 × 6371000     		do = 194.445628792623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46249521--0.46230346) × cos(1.41091816) × R
    0.000191749999999991 × 0.159197928368038 × 6371000     		du = 194.482437813074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41094868)-sin(1.41091816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159167797525033-0.159197928368038)×R²
    abs(-0.46230346--0.46249521)×3.01308430050995e-05×R²
    0.000191749999999991×3.01308430050995e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.01308430050995e-05×40589641000000     		ar = 37812.1544733842m²