Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13971 / 3889
↖ ↑ ↗
← N 79.590364°
W 26.510010°		 ← 220.73 m → N 79.590364°
W 26.499024°		 →
↑
220.76 m
↓
↑
220.76 m
↓
N 79.588379°
W 26.510010°		 ← 220.77 m →
48 732 m²		 N 79.588379°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426376342773438 y=0.118698120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426376342773438 × 215)
    floor (0.426376342773438 × 32768)
    floor (13971.5)     		tx = 13971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118698120117188 × 215)
    floor (0.118698120117188 × 32768)
    floor (3889.5)     		ty = 3889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13971 / 3889 ti = "15/13971/3889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13971/3889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13971 ÷ 215
    13971 ÷ 32768     		x = 0.426361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3889 ÷ 215
    3889 ÷ 32768     		y = 0.118682861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.14727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46268696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118682861328125 × 2 - 1) × π
    0.76263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39588624301041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46268696} λ = -0.46268696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39588624301041))-π/2
    2×atan(10.9779228565774)-π/2
    2×1.47995511847319-π/2
    2.95991023694639-1.57079632675     		φ = 1.38911391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46268696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.510010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38911391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.590364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13971 KachelY 3889 -0.46268696 1.38911391 -26.510010 79.590364
    Oben rechts KachelX + 1 13972 KachelY 3889 -0.46249521 1.38911391 -26.499024 79.590364
    Unten links KachelX 13971 KachelY + 1 3890 -0.46268696 1.38907926 -26.510010 79.588379
    Unten rechts KachelX + 1 13972 KachelY + 1 3890 -0.46249521 1.38907926 -26.499024 79.588379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38911391-1.38907926) × R
    3.4650000000136e-05 × 6371000     		dl = 220.755150000866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38911391-1.38907926) × R
    3.4650000000136e-05 × 6371000     		dr = 220.755150000866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46268696--0.46249521) × cos(1.38911391) × R
    0.000191749999999991 × 0.180684554423364 × 6371000     		do = 220.731343552332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46268696--0.46249521) × cos(1.38907926) × R
    0.000191749999999991 × 0.180718634013942 × 6371000     		du = 220.772976517806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38911391)-sin(1.38907926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180684554423364-0.180718634013942)×R²
    abs(-0.46249521--0.46268696)×3.40795905779956e-05×R²
    0.000191749999999991×3.40795905779956e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.40795905779956e-05×40589641000000     		ar = 48732.1762069695m²