Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13971 / 10895
↖ ↑ ↗
← N 51.515580°
W 26.510010°		 ← 760.23 m → N 51.515580°
W 26.499024°		 →
↑
760.25 m
↓
↑
760.25 m
↓
N 51.508742°
W 26.510010°		 ← 760.34 m →
578 008 m²		 N 51.508742°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426376342773438 y=0.332504272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426376342773438 × 215)
    floor (0.426376342773438 × 32768)
    floor (13971.5)     		tx = 13971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332504272460938 × 215)
    floor (0.332504272460938 × 32768)
    floor (10895.5)     		ty = 10895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13971 / 10895 ti = "15/13971/10895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13971/10895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13971 ÷ 215
    13971 ÷ 32768     		x = 0.426361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10895 ÷ 215
    10895 ÷ 32768     		y = 0.332489013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.14727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46268696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332489013671875 × 2 - 1) × π
    0.33502197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05250256805795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46268696} λ = -0.46268696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05250256805795))-π/2
    2×atan(2.86481154045713)-π/2
    2×1.23495640503827-π/2
    2.46991281007655-1.57079632675     		φ = 0.89911648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46268696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.510010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89911648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.515580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13971 KachelY 10895 -0.46268696 0.89911648 -26.510010 51.515580
    Oben rechts KachelX + 1 13972 KachelY 10895 -0.46249521 0.89911648 -26.499024 51.515580
    Unten links KachelX 13971 KachelY + 1 10896 -0.46268696 0.89899715 -26.510010 51.508742
    Unten rechts KachelX + 1 13972 KachelY + 1 10896 -0.46249521 0.89899715 -26.499024 51.508742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89911648-0.89899715) × R
    0.000119329999999973 × 6371000     		dl = 760.251429999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89911648-0.89899715) × R
    0.000119329999999973 × 6371000     		dr = 760.251429999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46268696--0.46249521) × cos(0.89911648) × R
    0.000191749999999991 × 0.622301810555103 × 6371000     		do = 760.228317120141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46268696--0.46249521) × cos(0.89899715) × R
    0.000191749999999991 × 0.62239521495124 × 6371000     		du = 760.342423596584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89911648)-sin(0.89899715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622301810555103-0.62239521495124)×R²
    abs(-0.46249521--0.46268696)×9.3404396136143e-05×R²
    0.000191749999999991×9.3404396136143e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.3404396136143e-05×40589641000000     		ar = 578008.04070845m²