Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13970 / 15802
↖ ↑ ↗
← N 79.467573°
W141.630249°		 ← 55.83 m → N 79.467573°
W141.627503°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.467071°
W141.630249°		 ← 55.83 m →
3 116 m²		 N 79.467071°
W141.627503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106586456298828 y=0.120563507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106586456298828 × 217)
    floor (0.106586456298828 × 131072)
    floor (13970.5)     		tx = 13970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120563507080078 × 217)
    floor (0.120563507080078 × 131072)
    floor (15802.5)     		ty = 15802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13970 / 15802 ti = "17/13970/15802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13970/15802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13970 ÷ 217
    13970 ÷ 131072     		x = 0.106582641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15802 ÷ 217
    15802 ÷ 131072     		y = 0.120559692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106582641601562 × 2 - 1) × π
    -0.786834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.47191417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120559692382812 × 2 - 1) × π
    0.758880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38409376570387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47191417} λ = -2.47191417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38409376570387))-π/2
    2×atan(10.8492262676232)-π/2
    2×1.47888355785894-π/2
    2.95776711571787-1.57079632675     		φ = 1.38697079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47191417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.630249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38697079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.467573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13970 KachelY 15802 -2.47191417 1.38697079 -141.630249 79.467573
    Oben rechts KachelX + 1 13971 KachelY 15802 -2.47186623 1.38697079 -141.627503 79.467573
    Unten links KachelX 13970 KachelY + 1 15803 -2.47191417 1.38696203 -141.630249 79.467071
    Unten rechts KachelX + 1 13971 KachelY + 1 15803 -2.47186623 1.38696203 -141.627503 79.467071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38697079-1.38696203) × R
    8.75999999983001e-06 × 6371000     		dl = 55.809959998917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38697079-1.38696203) × R
    8.75999999983001e-06 × 6371000     		dr = 55.809959998917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47191417--2.47186623) × cos(1.38697079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182791984469527 × 6371000     		do = 55.829377122637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47191417--2.47186623) × cos(1.38696203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182800596870626 × 6371000     		du = 55.832007571616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38697079)-sin(1.38696203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182791984469527-0.182800596870626)×R²
    abs(-2.47186623--2.47191417)×8.61240109947814e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61240109947814e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61240109947814e-06×40589641000000     		ar = 3115.9087065155m²