Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13970 / 10930
↖ ↑ ↗
← N 51.275663°
W 26.520996°		 ← 764.19 m → N 51.275663°
W 26.510010°		 →
↑
764.33 m
↓
↑
764.33 m
↓
N 51.268789°
W 26.520996°		 ← 764.30 m →
584 133 m²		 N 51.268789°
W 26.510010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426345825195312 y=0.333572387695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426345825195312 × 215)
    floor (0.426345825195312 × 32768)
    floor (13970.5)     		tx = 13970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333572387695312 × 215)
    floor (0.333572387695312 × 32768)
    floor (10930.5)     		ty = 10930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13970 / 10930 ti = "15/13970/10930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13970/10930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13970 ÷ 215
    13970 ÷ 32768     		x = 0.42633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10930 ÷ 215
    10930 ÷ 32768     		y = 0.33355712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46287870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33355712890625 × 2 - 1) × π
    0.3328857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04579140211114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46287870} λ = -0.46287870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04579140211114))-π/2
    2×atan(2.845649685916)-π/2
    2×1.23286273119672-π/2
    2.46572546239343-1.57079632675     		φ = 0.89492914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46287870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.520996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89492914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.275663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13970 KachelY 10930 -0.46287870 0.89492914 -26.520996 51.275663
    Oben rechts KachelX + 1 13971 KachelY 10930 -0.46268696 0.89492914 -26.510010 51.275663
    Unten links KachelX 13970 KachelY + 1 10931 -0.46287870 0.89480917 -26.520996 51.268789
    Unten rechts KachelX + 1 13971 KachelY + 1 10931 -0.46268696 0.89480917 -26.510010 51.268789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89492914-0.89480917) × R
    0.000119969999999969 × 6371000     		dl = 764.328869999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89492914-0.89480917) × R
    0.000119969999999969 × 6371000     		dr = 764.328869999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46287870--0.46268696) × cos(0.89492914) × R
    0.000191739999999996 × 0.625574100436133 × 6371000     		do = 764.186019550266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46287870--0.46268696) × cos(0.89480917) × R
    0.000191739999999996 × 0.625667692299678 × 6371000     		du = 764.300349081516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89492914)-sin(0.89480917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625574100436133-0.625667692299678)×R²
    abs(-0.46268696--0.46287870)×9.35918635448507e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35918635448507e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35918635448507e-05×40589641000000     		ar = 584133.130174369m²