Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13969 / 15803
↖ ↑ ↗
← N 79.467071°
W141.632995°		 ← 55.82 m → N 79.467071°
W141.630249°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
N 79.466568°
W141.632995°		 ← 55.82 m →
3 119 m²		 N 79.466568°
W141.630249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106578826904297 y=0.120571136474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106578826904297 × 217)
    floor (0.106578826904297 × 131072)
    floor (13969.5)     		tx = 13969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120571136474609 × 217)
    floor (0.120571136474609 × 131072)
    floor (15803.5)     		ty = 15803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13969 / 15803 ti = "17/13969/15803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13969/15803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13969 ÷ 217
    13969 ÷ 131072     		x = 0.106575012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15803 ÷ 217
    15803 ÷ 131072     		y = 0.120567321777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106575012207031 × 2 - 1) × π
    -0.786849975585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.47196210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120567321777344 × 2 - 1) × π
    0.758865356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.38404582880425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47196210} λ = -2.47196210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38404582880425))-π/2
    2×atan(10.848706201818)-π/2
    2×1.47887917651516-π/2
    2.95775835303033-1.57079632675     		φ = 1.38696203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47196210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.632995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38696203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.467071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13969 KachelY 15803 -2.47196210 1.38696203 -141.632995 79.467071
    Oben rechts KachelX + 1 13970 KachelY 15803 -2.47191417 1.38696203 -141.630249 79.467071
    Unten links KachelX 13969 KachelY + 1 15804 -2.47196210 1.38695326 -141.632995 79.466568
    Unten rechts KachelX + 1 13970 KachelY + 1 15804 -2.47191417 1.38695326 -141.630249 79.466568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38696203-1.38695326) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38696203-1.38695326) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47196210--2.47191417) × cos(1.38696203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182800596870626 × 6371000     		do = 55.8203613456602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47196210--2.47191417) × cos(1.38695326) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182809219089182 × 6371000     		du = 55.8229942438216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38696203)-sin(1.38695326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182800596870626-0.182809219089182)×R²
    abs(-2.47191417--2.47196210)×8.62221855604806e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62221855604806e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62221855604806e-06×40589641000000     		ar = 3118.96200413008m²