Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13968 / 7250
↖ ↑ ↗
← N 70.311337°
W 26.542969°		 ← 411.58 m → N 70.311337°
W 26.531982°		 →
↑
411.57 m
↓
↑
411.57 m
↓
N 70.307636°
W 26.542969°		 ← 411.66 m →
169 408 m²		 N 70.307636°
W 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426284790039062 y=0.221267700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426284790039062 × 215)
    floor (0.426284790039062 × 32768)
    floor (13968.5)     		tx = 13968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221267700195312 × 215)
    floor (0.221267700195312 × 32768)
    floor (7250.5)     		ty = 7250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13968 / 7250 ti = "15/13968/7250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13968/7250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13968 ÷ 215
    13968 ÷ 32768     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7250 ÷ 215
    7250 ÷ 32768     		y = 0.22125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22125244140625 × 2 - 1) × π
    0.5574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75142256451837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75142256451837))-π/2
    2×atan(5.76279479511741)-π/2
    2×1.39898032971554-π/2
    2.79796065943108-1.57079632675     		φ = 1.22716433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22716433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.311337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13968 KachelY 7250 -0.46326220 1.22716433 -26.542969 70.311337
    Oben rechts KachelX + 1 13969 KachelY 7250 -0.46307045 1.22716433 -26.531982 70.311337
    Unten links KachelX 13968 KachelY + 1 7251 -0.46326220 1.22709973 -26.542969 70.307636
    Unten rechts KachelX + 1 13969 KachelY + 1 7251 -0.46307045 1.22709973 -26.531982 70.307636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22716433-1.22709973) × R
    6.45999999999702e-05 × 6371000     		dl = 411.56659999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22716433-1.22709973) × R
    6.45999999999702e-05 × 6371000     		dr = 411.56659999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46307045) × cos(1.22716433) × R
    0.000191749999999991 × 0.336908966957804 × 6371000     		do = 411.581217712586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46307045) × cos(1.22709973) × R
    0.000191749999999991 × 0.336969789559575 × 6371000     		du = 411.655520990197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22716433)-sin(1.22709973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336908966957804-0.336969789559575)×R²
    abs(-0.46307045--0.46326220)×6.08226017710933e-05×R²
    0.000191749999999991×6.08226017710933e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.08226017710933e-05×40589641000000     		ar = 169408.372830515m²