Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13968 / 7120
↖ ↑ ↗
← N 70.786910°
W 26.542969°		 ← 402.02 m → N 70.786910°
W 26.531982°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
N 70.783294°
W 26.542969°		 ← 402.09 m →
161 631 m²		 N 70.783294°
W 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426284790039062 y=0.217300415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426284790039062 × 215)
    floor (0.426284790039062 × 32768)
    floor (13968.5)     		tx = 13968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217300415039062 × 215)
    floor (0.217300415039062 × 32768)
    floor (7120.5)     		ty = 7120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13968 / 7120 ti = "15/13968/7120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13968/7120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13968 ÷ 215
    13968 ÷ 32768     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7120 ÷ 215
    7120 ÷ 32768     		y = 0.21728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7763497523208))-π/2
    2×atan(5.90825043155362)-π/2
    2×1.40313048540957-π/2
    2.80626097081914-1.57079632675     		φ = 1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13968 KachelY 7120 -0.46326220 1.23546464 -26.542969 70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 13969 KachelY 7120 -0.46307045 1.23546464 -26.531982 70.786910
    Unten links KachelX 13968 KachelY + 1 7121 -0.46326220 1.23540154 -26.542969 70.783294
    Unten rechts KachelX + 1 13969 KachelY + 1 7121 -0.46307045 1.23540154 -26.531982 70.783294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23546464-1.23540154) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23546464-1.23540154) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46307045) × cos(1.23546464) × R
    0.000191749999999991 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 402.019976583013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46307045) × cos(1.23540154) × R
    0.000191749999999991 × 0.329141984963001 × 6371000     		du = 402.092767653692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23546464)-sin(1.23540154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.329141984963001)×R²
    abs(-0.46307045--0.46326220)×5.95847511278835e-05×R²
    0.000191749999999991×5.95847511278835e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.95847511278835e-05×40589641000000     		ar = 161630.722414541m²