Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13968 / 3952
↖ ↑ ↗
← N 79.464560°
W 26.542969°		 ← 223.37 m → N 79.464560°
W 26.531982°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
N 79.462551°
W 26.542969°		 ← 223.41 m →
49 912 m²		 N 79.462551°
W 26.531982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426284790039062 y=0.120620727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426284790039062 × 215)
    floor (0.426284790039062 × 32768)
    floor (13968.5)     		tx = 13968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120620727539062 × 215)
    floor (0.120620727539062 × 32768)
    floor (3952.5)     		ty = 3952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13968 / 3952 ti = "15/13968/3952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13968/3952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13968 ÷ 215
    13968 ÷ 32768     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3952 ÷ 215
    3952 ÷ 32768     		y = 0.12060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12060546875 × 2 - 1) × π
    0.7587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38380614430615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38380614430615))-π/2
    2×atan(10.8461062467139)-π/2
    2×1.47885726669869-π/2
    2.95771453339738-1.57079632675     		φ = 1.38691821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38691821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.464560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13968 KachelY 3952 -0.46326220 1.38691821 -26.542969 79.464560
    Oben rechts KachelX + 1 13969 KachelY 3952 -0.46307045 1.38691821 -26.531982 79.464560
    Unten links KachelX 13968 KachelY + 1 3953 -0.46326220 1.38688314 -26.542969 79.462551
    Unten rechts KachelX + 1 13969 KachelY + 1 3953 -0.46307045 1.38688314 -26.531982 79.462551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38691821-1.38688314) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dl = 223.430970000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38691821-1.38688314) × R
    3.50700000000259e-05 × 6371000     		dr = 223.430970000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46307045) × cos(1.38691821) × R
    0.000191749999999991 × 0.182843678328536 × 6371000     		do = 223.369014060503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46307045) × cos(1.38688314) × R
    0.000191749999999991 × 0.182878157005978 × 6371000     		du = 223.411134566154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38691821)-sin(1.38688314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182843678328536-0.182878157005978)×R²
    abs(-0.46307045--0.46326220)×3.4478677441635e-05×R²
    0.000191749999999991×3.4478677441635e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.4478677441635e-05×40589641000000     		ar = 49912.2609972321m²