Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13967 / 3951
↖ ↑ ↗
← N 79.466568°
W 26.553955°		 ← 223.33 m → N 79.466568°
W 26.542969°		 →
↑
223.30 m
↓
↑
223.30 m
↓
N 79.464560°
W 26.553955°		 ← 223.37 m →
49 874 m²		 N 79.464560°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3951 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426254272460938 y=0.120590209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426254272460938 × 215)
    floor (0.426254272460938 × 32768)
    floor (13967.5)     		tx = 13967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120590209960938 × 215)
    floor (0.120590209960938 × 32768)
    floor (3951.5)     		ty = 3951
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13967 / 3951 ti = "15/13967/3951"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13967/3951.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13967 ÷ 215
    13967 ÷ 32768     		x = 0.426239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3951 ÷ 215
    3951 ÷ 32768     		y = 0.120574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.14752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46345395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120574951171875 × 2 - 1) × π
    0.75885009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38399789190463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46345395} λ = -0.46345395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38399789190463))-π/2
    2×atan(10.8481861609424)-π/2
    2×1.47887479496489-π/2
    2.95774958992979-1.57079632675     		φ = 1.38695326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46345395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38695326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.466568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13967 KachelY 3951 -0.46345395 1.38695326 -26.553955 79.466568
    Oben rechts KachelX + 1 13968 KachelY 3951 -0.46326220 1.38695326 -26.542969 79.466568
    Unten links KachelX 13967 KachelY + 1 3952 -0.46345395 1.38691821 -26.553955 79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 13968 KachelY + 1 3952 -0.46326220 1.38691821 -26.542969 79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38695326-1.38691821) × R
    3.50500000001475e-05 × 6371000     		dl = 223.303550000939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38695326-1.38691821) × R
    3.50500000001475e-05 × 6371000     		dr = 223.303550000939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46345395--0.46326220) × cos(1.38695326) × R
    0.000191749999999991 × 0.182809219089182 × 6371000     		do = 223.326917301183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46345395--0.46326220) × cos(1.38691821) × R
    0.000191749999999991 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 223.369014060503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38695326)-sin(1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182809219089182-0.182843678328536)×R²
    abs(-0.46326220--0.46345395)×3.44592393538845e-05×R²
    0.000191749999999991×3.44592393538845e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.44592393538845e-05×40589641000000     		ar = 49874.3936268774m²