Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13967 / 3920
↖ ↑ ↗
← N 79.528647°
W 26.553955°		 ← 222.03 m → N 79.528647°
W 26.542969°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 79.526650°
W 26.553955°		 ← 222.07 m →
49 301 m²		 N 79.526650°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426254272460938 y=0.119644165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426254272460938 × 215)
    floor (0.426254272460938 × 32768)
    floor (13967.5)     		tx = 13967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119644165039062 × 215)
    floor (0.119644165039062 × 32768)
    floor (3920.5)     		ty = 3920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13967 / 3920 ti = "15/13967/3920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13967/3920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13967 ÷ 215
    13967 ÷ 32768     		x = 0.426239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3920 ÷ 215
    3920 ÷ 32768     		y = 0.11962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.14752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46345395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11962890625 × 2 - 1) × π
    0.7607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38994206745752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46345395} λ = -0.46345395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38994206745752))-π/2
    2×atan(10.912861714904)-π/2
    2×1.47941653538561-π/2
    2.95883307077122-1.57079632675     		φ = 1.38803674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46345395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.553955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38803674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.528647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13967 KachelY 3920 -0.46345395 1.38803674 -26.553955 79.528647
    Oben rechts KachelX + 1 13968 KachelY 3920 -0.46326220 1.38803674 -26.542969 79.528647
    Unten links KachelX 13967 KachelY + 1 3921 -0.46345395 1.38800189 -26.553955 79.526650
    Unten rechts KachelX + 1 13968 KachelY + 1 3921 -0.46326220 1.38800189 -26.542969 79.526650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38803674-1.38800189) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38803674-1.38800189) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46345395--0.46326220) × cos(1.38803674) × R
    0.000191749999999991 × 0.181743890359503 × 6371000     		do = 222.025469910854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46345395--0.46326220) × cos(1.38800189) × R
    0.000191749999999991 × 0.181778159853732 × 6371000     		du = 222.067334870082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38803674)-sin(1.38800189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181743890359503-0.181778159853732)×R²
    abs(-0.46326220--0.46345395)×3.42694942291333e-05×R²
    0.000191749999999991×3.42694942291333e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.42694942291333e-05×40589641000000     		ar = 49300.8183974653m²