Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13967 / 16012
↖ ↑ ↗
← N 79.361618°
W141.638489°		 ← 56.38 m → N 79.361618°
W141.635742°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.361111°
W141.638489°		 ← 56.39 m →
3 179 m²		 N 79.361111°
W141.635742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106563568115234 y=0.122165679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106563568115234 × 217)
    floor (0.106563568115234 × 131072)
    floor (13967.5)     		tx = 13967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122165679931641 × 217)
    floor (0.122165679931641 × 131072)
    floor (16012.5)     		ty = 16012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13967 / 16012 ti = "17/13967/16012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13967/16012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13967 ÷ 217
    13967 ÷ 131072     		x = 0.106559753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16012 ÷ 217
    16012 ÷ 131072     		y = 0.122161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106559753417969 × 2 - 1) × π
    -0.786880493164062 × 3.1415926535     		Λ = -2.47205798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122161865234375 × 2 - 1) × π
    0.75567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37402701678366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47205798} λ = -2.47205798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37402701678366))-π/2
    2×atan(10.74055771801)-π/2
    2×1.47795892983138-π/2
    2.95591785966276-1.57079632675     		φ = 1.38512153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47205798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.638489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38512153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.361618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13967 KachelY 16012 -2.47205798 1.38512153 -141.638489 79.361618
    Oben rechts KachelX + 1 13968 KachelY 16012 -2.47201004 1.38512153 -141.635742 79.361618
    Unten links KachelX 13967 KachelY + 1 16013 -2.47205798 1.38511268 -141.638489 79.361111
    Unten rechts KachelX + 1 13968 KachelY + 1 16013 -2.47201004 1.38511268 -141.635742 79.361111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38512153-1.38511268) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38512153-1.38511268) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47205798--2.47201004) × cos(1.38512153) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.184609773829125 × 6371000     		do = 56.3845767834786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47205798--2.47201004) × cos(1.38511268) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.184618471707214 × 6371000     		du = 56.3872333393301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38512153)-sin(1.38511268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184609773829125-0.184618471707214)×R²
    abs(-2.47201004--2.47205798)×8.69787808810418e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.69787808810418e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.69787808810418e-06×40589641000000     		ar = 3179.22622019638m²