Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13966 / 11003
↖ ↑ ↗
← N 50.771208°
W 26.564941°		 ← 772.55 m → N 50.771208°
W 26.553955°		 →
↑
772.61 m
↓
↑
772.61 m
↓
N 50.764259°
W 26.564941°		 ← 772.66 m →
596 923 m²		 N 50.764259°
W 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426223754882812 y=0.335800170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426223754882812 × 215)
    floor (0.426223754882812 × 32768)
    floor (13966.5)     		tx = 13966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335800170898438 × 215)
    floor (0.335800170898438 × 32768)
    floor (11003.5)     		ty = 11003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13966 / 11003 ti = "15/13966/11003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13966/11003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13966 ÷ 215
    13966 ÷ 32768     		x = 0.42620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11003 ÷ 215
    11003 ÷ 32768     		y = 0.335784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335784912109375 × 2 - 1) × π
    0.32843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03179382742209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46364569} λ = -0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03179382742209))-π/2
    2×atan(2.80609497275875)-π/2
    2×1.22846053432851-π/2
    2.45692106865702-1.57079632675     		φ = 0.88612474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88612474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.771208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13966 KachelY 11003 -0.46364569 0.88612474 -26.564941 50.771208
    Oben rechts KachelX + 1 13967 KachelY 11003 -0.46345395 0.88612474 -26.553955 50.771208
    Unten links KachelX 13966 KachelY + 1 11004 -0.46364569 0.88600347 -26.564941 50.764259
    Unten rechts KachelX + 1 13967 KachelY + 1 11004 -0.46345395 0.88600347 -26.553955 50.764259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88612474-0.88600347) × R
    0.000121269999999951 × 6371000     		dl = 772.611169999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88612474-0.88600347) × R
    0.000121269999999951 × 6371000     		dr = 772.611169999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46364569--0.46345395) × cos(0.88612474) × R
    0.000191739999999996 × 0.632418647961062 × 6371000     		do = 772.547151389088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46364569--0.46345395) × cos(0.88600347) × R
    0.000191739999999996 × 0.632512582300562 × 6371000     		du = 772.661899280586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88612474)-sin(0.88600347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632418647961062-0.632512582300562)×R²
    abs(-0.46345395--0.46364569)×9.39343394995573e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39343394995573e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39343394995573e-05×40589641000000     		ar = 596922.88699759m²