Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13966 / 10923
↖ ↑ ↗
← N 51.323746°
W 26.564941°		 ← 763.39 m → N 51.323746°
W 26.553955°		 →
↑
763.44 m
↓
↑
763.44 m
↓
N 51.316881°
W 26.564941°		 ← 763.50 m →
582 841 m²		 N 51.316881°
W 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426223754882812 y=0.333358764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426223754882812 × 215)
    floor (0.426223754882812 × 32768)
    floor (13966.5)     		tx = 13966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333358764648438 × 215)
    floor (0.333358764648438 × 32768)
    floor (10923.5)     		ty = 10923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13966 / 10923 ti = "15/13966/10923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13966/10923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13966 ÷ 215
    13966 ÷ 32768     		x = 0.42620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10923 ÷ 215
    10923 ÷ 32768     		y = 0.333343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333343505859375 × 2 - 1) × π
    0.33331298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04713363530051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46364569} λ = -0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04713363530051))-π/2
    2×atan(2.84947177586391)-π/2
    2×1.23328234456958-π/2
    2.46656468913917-1.57079632675     		φ = 0.89576836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89576836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.323746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13966 KachelY 10923 -0.46364569 0.89576836 -26.564941 51.323746
    Oben rechts KachelX + 1 13967 KachelY 10923 -0.46345395 0.89576836 -26.553955 51.323746
    Unten links KachelX 13966 KachelY + 1 10924 -0.46364569 0.89564853 -26.564941 51.316881
    Unten rechts KachelX + 1 13967 KachelY + 1 10924 -0.46345395 0.89564853 -26.553955 51.316881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89576836-0.89564853) × R
    0.000119830000000043 × 6371000     		dl = 763.436930000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89576836-0.89564853) × R
    0.000119830000000043 × 6371000     		dr = 763.436930000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46364569--0.46345395) × cos(0.89576836) × R
    0.000191739999999996 × 0.624919150354495 × 6371000     		do = 763.385948550616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46364569--0.46345395) × cos(0.89564853) × R
    0.000191739999999996 × 0.625012695887316 × 6371000     		du = 763.500221485387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89576836)-sin(0.89564853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624919150354495-0.625012695887316)×R²
    abs(-0.46345395--0.46364569)×9.35455328212598e-05×R²
    0.000191739999999996×9.35455328212598e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.35455328212598e-05×40589641000000     		ar = 582840.645752908m²