Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13966 / 10899
↖ ↑ ↗
← N 51.488224°
W 26.564941°		 ← 760.65 m → N 51.488224°
W 26.553955°		 →
↑
760.70 m
↓
↑
760.70 m
↓
N 51.481383°
W 26.564941°		 ← 760.76 m →
578 664 m²		 N 51.481383°
W 26.553955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426223754882812 y=0.332626342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426223754882812 × 215)
    floor (0.426223754882812 × 32768)
    floor (13966.5)     		tx = 13966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332626342773438 × 215)
    floor (0.332626342773438 × 32768)
    floor (10899.5)     		ty = 10899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13966 / 10899 ti = "15/13966/10899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13966/10899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13966 ÷ 215
    13966 ÷ 32768     		x = 0.42620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10899 ÷ 215
    10899 ÷ 32768     		y = 0.332611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332611083984375 × 2 - 1) × π
    0.33477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46364569} λ = -0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05173557766403))-π/2
    2×atan(2.86261509995727)-π/2
    2×1.23471768363798-π/2
    2.46943536727596-1.57079632675     		φ = 0.89863904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89863904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.488224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13966 KachelY 10899 -0.46364569 0.89863904 -26.564941 51.488224
    Oben rechts KachelX + 1 13967 KachelY 10899 -0.46345395 0.89863904 -26.553955 51.488224
    Unten links KachelX 13966 KachelY + 1 10900 -0.46364569 0.89851964 -26.564941 51.481383
    Unten rechts KachelX + 1 13967 KachelY + 1 10900 -0.46345395 0.89851964 -26.553955 51.481383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89863904-0.89851964) × R
    0.000119399999999992 × 6371000     		dl = 760.697399999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89863904-0.89851964) × R
    0.000119399999999992 × 6371000     		dr = 760.697399999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46364569--0.46345395) × cos(0.89863904) × R
    0.000191739999999996 × 0.622675468855821 × 6371000     		do = 760.645122112286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46364569--0.46345395) × cos(0.89851964) × R
    0.000191739999999996 × 0.622768892552714 × 6371000     		du = 760.759246215267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89863904)-sin(0.89851964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622675468855821-0.622768892552714)×R²
    abs(-0.46345395--0.46364569)×9.34236968934687e-05×R²
    0.000191739999999996×9.34236968934687e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.34236968934687e-05×40589641000000     		ar = 578664.174355619m²