Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13965 / 16014
↖ ↑ ↗
← N 79.360604°
W141.643982°		 ← 56.39 m → N 79.360604°
W141.641235°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.360097°
W141.643982°		 ← 56.39 m →
3 180 m²		 N 79.360097°
W141.641235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106548309326172 y=0.122180938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106548309326172 × 217)
    floor (0.106548309326172 × 131072)
    floor (13965.5)     		tx = 13965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122180938720703 × 217)
    floor (0.122180938720703 × 131072)
    floor (16014.5)     		ty = 16014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13965 / 16014 ti = "17/13965/16014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13965/16014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13965 ÷ 217
    13965 ÷ 131072     		x = 0.106544494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16014 ÷ 217
    16014 ÷ 131072     		y = 0.122177124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106544494628906 × 2 - 1) × π
    -0.786911010742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.47215385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122177124023438 × 2 - 1) × π
    0.755645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37393114298442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47215385} λ = -2.47215385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37393114298442))-π/2
    2×atan(10.7395280292965)-π/2
    2×1.47795007979437-π/2
    2.95590015958875-1.57079632675     		φ = 1.38510383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47215385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.643982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38510383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.360604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13965 KachelY 16014 -2.47215385 1.38510383 -141.643982 79.360604
    Oben rechts KachelX + 1 13966 KachelY 16014 -2.47210591 1.38510383 -141.641235 79.360604
    Unten links KachelX 13965 KachelY + 1 16015 -2.47215385 1.38509498 -141.643982 79.360097
    Unten rechts KachelX + 1 13966 KachelY + 1 16015 -2.47210591 1.38509498 -141.641235 79.360097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38510383-1.38509498) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dl = 56.3833499996762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38510383-1.38509498) × R
    8.84999999994918e-06 × 6371000     		dr = 56.3833499996762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47215385--2.47210591) × cos(1.38510383) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.184627169570842 × 6371000     		do = 56.3898898907652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47215385--2.47210591) × cos(1.38509498) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.18463586742001 × 6371000     		du = 56.3925464377838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38510383)-sin(1.38509498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184627169570842-0.18463586742001)×R²
    abs(-2.47210591--2.47215385)×8.69784916787686e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.69784916787686e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.69784916787686e-06×40589641000000     		ar = 3179.52579073142m²