Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13964 / 18556
↖ ↑ ↗
← N 61.280793°
W103.293457°		 ← 293.49 m → N 61.280793°
W103.287964°		 →
↑
293.51 m
↓
↑
293.51 m
↓
N 61.278153°
W103.293457°		 ← 293.52 m →
86 148 m²		 N 61.278153°
W103.287964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213081359863281 y=0.283149719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213081359863281 × 216)
    floor (0.213081359863281 × 65536)
    floor (13964.5)     		tx = 13964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283149719238281 × 216)
    floor (0.283149719238281 × 65536)
    floor (18556.5)     		ty = 18556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13964 / 18556 ti = "16/13964/18556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13964/18556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13964 ÷ 216
    13964 ÷ 65536     		x = 0.21307373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18556 ÷ 216
    18556 ÷ 65536     		y = 0.28314208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.5738525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80281092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28314208984375 × 2 - 1) × π
    0.4337158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.36255843480048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80281092} λ = -1.80281092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36255843480048))-π/2
    2×atan(3.90617422064873)-π/2
    2×1.32017396478721-π/2
    2.64034792957442-1.57079632675     		φ = 1.06955160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80281092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.293457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06955160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.280793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13964 KachelY 18556 -1.80281092 1.06955160 -103.293457 61.280793
    Oben rechts KachelX + 1 13965 KachelY 18556 -1.80271505 1.06955160 -103.287964 61.280793
    Unten links KachelX 13964 KachelY + 1 18557 -1.80281092 1.06950553 -103.293457 61.278153
    Unten rechts KachelX + 1 13965 KachelY + 1 18557 -1.80271505 1.06950553 -103.287964 61.278153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06955160-1.06950553) × R
    4.60700000000092e-05 × 6371000     		dl = 293.511970000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06955160-1.06950553) × R
    4.60700000000092e-05 × 6371000     		dr = 293.511970000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80281092--1.80271505) × cos(1.06955160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480517517453967 × 6371000     		do = 293.494222931638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80281092--1.80271505) × cos(1.06950553) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.480557919648882 × 6371000     		du = 293.518900098174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06955160)-sin(1.06950553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480517517453967-0.480557919648882)×R²
    abs(-1.80271505--1.80281092)×4.04021949147459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.04021949147459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.04021949147459e-05×40589641000000     		ar = 86147.6890934815m²