Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13964 / 16015
↖ ↑ ↗
← N 79.360097°
W141.646729°		 ← 56.39 m → N 79.360097°
W141.643982°		 →
↑
56.38 m
↓
↑
56.38 m
↓
N 79.359590°
W141.646729°		 ← 56.40 m →
3 180 m²		 N 79.359590°
W141.643982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106540679931641 y=0.122188568115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106540679931641 × 217)
    floor (0.106540679931641 × 131072)
    floor (13964.5)     		tx = 13964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122188568115234 × 217)
    floor (0.122188568115234 × 131072)
    floor (16015.5)     		ty = 16015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13964 / 16015 ti = "17/13964/16015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13964/16015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13964 ÷ 217
    13964 ÷ 131072     		x = 0.106536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16015 ÷ 217
    16015 ÷ 131072     		y = 0.122184753417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.78692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.47220179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122184753417969 × 2 - 1) × π
    0.755630493164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.3738832060848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47220179} λ = -2.47220179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3738832060848))-π/2
    2×atan(10.7390132219586)-π/2
    2×1.47794565446315-π/2
    2.9558913089263-1.57079632675     		φ = 1.38509498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47220179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38509498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.360097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13964 KachelY 16015 -2.47220179 1.38509498 -141.646729 79.360097
    Oben rechts KachelX + 1 13965 KachelY 16015 -2.47215385 1.38509498 -141.643982 79.360097
    Unten links KachelX 13964 KachelY + 1 16016 -2.47220179 1.38508613 -141.646729 79.359590
    Unten rechts KachelX + 1 13965 KachelY + 1 16016 -2.47215385 1.38508613 -141.643982 79.359590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38509498-1.38508613) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dl = 56.3833500010908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38509498-1.38508613) × R
    8.85000000017122e-06 × 6371000     		dr = 56.3833500010908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47220179--2.47215385) × cos(1.38509498) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18463586742001 × 6371000     		do = 56.3925464372614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47220179--2.47215385) × cos(1.38508613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184644565254717 × 6371000     		du = 56.3952029798631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38509498)-sin(1.38508613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18463586742001-0.184644565254717)×R²
    abs(-2.47215385--2.47220179)×8.69783470694441e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.69783470694441e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.69783470694441e-06×40589641000000     		ar = 3179.67557553742m²