Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13963 / 10899
↖ ↑ ↗
← N 51.488224°
W 26.597901°		 ← 760.68 m → N 51.488224°
W 26.586914°		 →
↑
760.70 m
↓
↑
760.70 m
↓
N 51.481383°
W 26.597901°		 ← 760.80 m →
578 694 m²		 N 51.481383°
W 26.586914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426132202148438 y=0.332626342773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426132202148438 × 215)
    floor (0.426132202148438 × 32768)
    floor (13963.5)     		tx = 13963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332626342773438 × 215)
    floor (0.332626342773438 × 32768)
    floor (10899.5)     		ty = 10899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13963 / 10899 ti = "15/13963/10899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13963/10899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13963 ÷ 215
    13963 ÷ 32768     		x = 0.426116943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10899 ÷ 215
    10899 ÷ 32768     		y = 0.332611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426116943359375 × 2 - 1) × π
    -0.14776611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46422094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332611083984375 × 2 - 1) × π
    0.33477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46422094} λ = -0.46422094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05173557766403))-π/2
    2×atan(2.86261509995727)-π/2
    2×1.23471768363798-π/2
    2.46943536727596-1.57079632675     		φ = 0.89863904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46422094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.597901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89863904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.488224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13963 KachelY 10899 -0.46422094 0.89863904 -26.597901 51.488224
    Oben rechts KachelX + 1 13964 KachelY 10899 -0.46402919 0.89863904 -26.586914 51.488224
    Unten links KachelX 13963 KachelY + 1 10900 -0.46422094 0.89851964 -26.597901 51.481383
    Unten rechts KachelX + 1 13964 KachelY + 1 10900 -0.46402919 0.89851964 -26.586914 51.481383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89863904-0.89851964) × R
    0.000119399999999992 × 6371000     		dl = 760.697399999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89863904-0.89851964) × R
    0.000119399999999992 × 6371000     		dr = 760.697399999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46422094--0.46402919) × cos(0.89863904) × R
    0.000191750000000046 × 0.622675468855821 × 6371000     		do = 760.684792766606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46422094--0.46402919) × cos(0.89851964) × R
    0.000191750000000046 × 0.622768892552714 × 6371000     		du = 760.798922821611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89863904)-sin(0.89851964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622675468855821-0.622768892552714)×R²
    abs(-0.46402919--0.46422094)×9.34236968934687e-05×R²
    0.000191750000000046×9.34236968934687e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.34236968934687e-05×40589641000000     		ar = 578694.353983097m²