Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13962 / 3571
↖ ↑ ↗
← N 80.203046°
W 26.608887°		 ← 207.86 m → N 80.203046°
W 26.597901°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 80.201176°
W 26.608887°		 ← 207.90 m →
43 215 m²		 N 80.201176°
W 26.597901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426101684570312 y=0.108993530273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426101684570312 × 215)
    floor (0.426101684570312 × 32768)
    floor (13962.5)     		tx = 13962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108993530273438 × 215)
    floor (0.108993530273438 × 32768)
    floor (3571.5)     		ty = 3571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13962 / 3571 ti = "15/13962/3571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13962/3571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13962 ÷ 215
    13962 ÷ 32768     		x = 0.42608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3571 ÷ 215
    3571 ÷ 32768     		y = 0.108978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.1478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46441268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108978271484375 × 2 - 1) × π
    0.78204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45686197932712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46441268} λ = -0.46441268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45686197932712))-π/2
    2×atan(11.6681391688189)-π/2
    2×1.48530177125212-π/2
    2.97060354250424-1.57079632675     		φ = 1.39980722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46441268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.608887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39980722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.203046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13962 KachelY 3571 -0.46441268 1.39980722 -26.608887 80.203046
    Oben rechts KachelX + 1 13963 KachelY 3571 -0.46422094 1.39980722 -26.597901 80.203046
    Unten links KachelX 13962 KachelY + 1 3572 -0.46441268 1.39977459 -26.608887 80.201176
    Unten rechts KachelX + 1 13963 KachelY + 1 3572 -0.46422094 1.39977459 -26.597901 80.201176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39980722-1.39977459) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39980722-1.39977459) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46441268--0.46422094) × cos(1.39980722) × R
    0.000191739999999996 × 0.170157114739671 × 6371000     		do = 207.859769322951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46441268--0.46422094) × cos(1.39977459) × R
    0.000191739999999996 × 0.17018926880401 × 6371000     		du = 207.899047941458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39980722)-sin(1.39977459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170157114739671-0.17018926880401)×R²
    abs(-0.46422094--0.46441268)×3.21540643384577e-05×R²
    0.000191739999999996×3.21540643384577e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.21540643384577e-05×40589641000000     		ar = 43215.1626194656m²