Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13961 / 3245
↖ ↑ ↗
← N 80.794070°
W 26.619873°		 ← 195.44 m → N 80.794070°
W 26.608887°		 →
↑
195.46 m
↓
↑
195.46 m
↓
N 80.792312°
W 26.619873°		 ← 195.48 m →
38 205 m²		 N 80.792312°
W 26.608887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426071166992188 y=0.0990447998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426071166992188 × 215)
    floor (0.426071166992188 × 32768)
    floor (13961.5)     		tx = 13961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0990447998046875 × 215)
    floor (0.0990447998046875 × 32768)
    floor (3245.5)     		ty = 3245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13961 / 3245 ti = "15/13961/3245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13961/3245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13961 ÷ 215
    13961 ÷ 32768     		x = 0.426055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3245 ÷ 215
    3245 ÷ 32768     		y = 0.099029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426055908203125 × 2 - 1) × π
    -0.14788818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46460443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.099029541015625 × 2 - 1) × π
    0.80194091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.51937169643167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46460443} λ = -0.46460443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51937169643167))-π/2
    2×atan(12.4207901846206)-π/2
    2×1.4904594303519-π/2
    2.98091886070379-1.57079632675     		φ = 1.41012253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46460443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.619873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41012253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.794070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13961 KachelY 3245 -0.46460443 1.41012253 -26.619873 80.794070
    Oben rechts KachelX + 1 13962 KachelY 3245 -0.46441268 1.41012253 -26.608887 80.794070
    Unten links KachelX 13961 KachelY + 1 3246 -0.46460443 1.41009185 -26.619873 80.792312
    Unten rechts KachelX + 1 13962 KachelY + 1 3246 -0.46441268 1.41009185 -26.608887 80.792312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41012253-1.41009185) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dl = 195.462280000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41012253-1.41009185) × R
    3.06800000000607e-05 × 6371000     		dr = 195.462280000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46460443--0.46441268) × cos(1.41012253) × R
    0.000191749999999991 × 0.159983360977886 × 6371000     		do = 195.441953117494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46460443--0.46441268) × cos(1.41009185) × R
    0.000191749999999991 × 0.160013645735327 × 6371000     		du = 195.478950165861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41012253)-sin(1.41009185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159983360977886-0.160013645735327)×R²
    abs(-0.46441268--0.46460443)×3.02847574412957e-05×R²
    0.000191749999999991×3.02847574412957e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.02847574412957e-05×40589641000000     		ar = 38205.1455312285m²