Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 13961 / 18824
↖ ↑ ↗
← N 60.565379°
W103.309936°		 ← 300.16 m → N 60.565379°
W103.304443°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
N 60.562679°
W103.309936°		 ← 300.18 m →
90 112 m²		 N 60.562679°
W103.304443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18824 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213035583496094 y=0.287239074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213035583496094 × 216)
    floor (0.213035583496094 × 65536)
    floor (13961.5)     		tx = 13961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287239074707031 × 216)
    floor (0.287239074707031 × 65536)
    floor (18824.5)     		ty = 18824
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13961 / 18824 ti = "16/13961/18824"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13961/18824.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13961 ÷ 216
    13961 ÷ 65536     		x = 0.213027954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18824 ÷ 216
    18824 ÷ 65536     		y = 0.2872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213027954101562 × 2 - 1) × π
    -0.573944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80309854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2872314453125 × 2 - 1) × π
    0.425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33686425660413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80309854} λ = -1.80309854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33686425660413))-π/2
    2×atan(3.80708672141645)-π/2
    2×1.31393079719936-π/2
    2.62786159439872-1.57079632675     		φ = 1.05706527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80309854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.309936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05706527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.565379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13961 KachelY 18824 -1.80309854 1.05706527 -103.309936 60.565379
    Oben rechts KachelX + 1 13962 KachelY 18824 -1.80300267 1.05706527 -103.304443 60.565379
    Unten links KachelX 13961 KachelY + 1 18825 -1.80309854 1.05701815 -103.309936 60.562679
    Unten rechts KachelX + 1 13962 KachelY + 1 18825 -1.80300267 1.05701815 -103.304443 60.562679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05706527-1.05701815) × R
    4.71200000000671e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05706527-1.05701815) × R
    4.71200000000671e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80309854--1.80300267) × cos(1.05706527) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.491430100752167 × 6371000     		do = 300.159495349285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80309854--1.80300267) × cos(1.05701815) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.491471137816584 × 6371000     		du = 300.184560286347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05706527)-sin(1.05701815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491430100752167-0.491471137816584)×R²
    abs(-1.80300267--1.80309854)×4.10370644169378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.10370644169378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.10370644169378e-05×40589641000000     		ar = 90112.0990292648m²