Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13960 / 18827
↖ ↑ ↗
← N 60.557279°
W103.315430°		 ← 300.27 m → N 60.557279°
W103.309936°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
N 60.554579°
W103.315430°		 ← 300.29 m →
90 144 m²		 N 60.554579°
W103.309936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213020324707031 y=0.287284851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213020324707031 × 216)
    floor (0.213020324707031 × 65536)
    floor (13960.5)     		tx = 13960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287284851074219 × 216)
    floor (0.287284851074219 × 65536)
    floor (18827.5)     		ty = 18827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13960 / 18827 ti = "16/13960/18827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13960/18827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13960 ÷ 216
    13960 ÷ 65536     		x = 0.2130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18827 ÷ 216
    18827 ÷ 65536     		y = 0.287277221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80319442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287277221679688 × 2 - 1) × π
    0.425445556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.33657663520641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80319442} λ = -1.80319442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33657663520641))-π/2
    2×atan(3.80599187926996)-π/2
    2×1.31386011544074-π/2
    2.62772023088149-1.57079632675     		φ = 1.05692390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80319442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05692390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.557279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13960 KachelY 18827 -1.80319442 1.05692390 -103.315430 60.557279
    Oben rechts KachelX + 1 13961 KachelY 18827 -1.80309854 1.05692390 -103.309936 60.557279
    Unten links KachelX 13960 KachelY + 1 18828 -1.80319442 1.05687678 -103.315430 60.554579
    Unten rechts KachelX + 1 13961 KachelY + 1 18828 -1.80309854 1.05687678 -103.309936 60.554579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05692390-1.05687678) × R
    4.71199999998451e-05 × 6371000     		dl = 300.201519999013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05692390-1.05687678) × R
    4.71199999998451e-05 × 6371000     		dr = 300.201519999013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80319442--1.80309854) × cos(1.05692390) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.49155321738017 × 6371000     		do = 300.266010335937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80319442--1.80309854) × cos(1.05687678) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.49159425117045 × 6371000     		du = 300.29107588746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05692390)-sin(1.05687678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49155321738017-0.49159425117045)×R²
    abs(-1.80309854--1.80319442)×4.10337902799762e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.10337902799762e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.10337902799762e-05×40589641000000     		ar = 90144.075081738m²