Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1396 / 2988
↖ ↑ ↗
← S 63.391522°
W 57.304687°		 ← 4 377.24 m → S 63.391522°
W 57.216797°		 →
↑
4 374.26 m
↓
↑
4 374.26 m
↓
S 63.430860°
W 57.304687°		 ← 4 371.24 m →
19 134 069 m²		 S 63.430860°
W 57.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3409423828125 y=0.7296142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3409423828125 × 212)
    floor (0.3409423828125 × 4096)
    floor (1396.5)     		tx = 1396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7296142578125 × 212)
    floor (0.7296142578125 × 4096)
    floor (2988.5)     		ty = 2988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1396 / 2988 ti = "12/1396/2988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1396/2988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1396 ÷ 212
    1396 ÷ 4096     		x = 0.3408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2988 ÷ 212
    2988 ÷ 4096     		y = 0.7294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7294921875 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00015547} λ = -1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44194194057129))-π/2
    2×atan(0.236468105509096)-π/2
    2×0.232202777265412-π/2
    0.464405554530824-1.57079632675     		φ = -1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1396 KachelY 2988 -1.00015547 -1.10639077 -57.304687 -63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 1397 KachelY 2988 -0.99862149 -1.10639077 -57.216797 -63.391522
    Unten links KachelX 1396 KachelY + 1 2989 -1.00015547 -1.10707736 -57.304687 -63.430860
    Unten rechts KachelX + 1 1397 KachelY + 1 2989 -0.99862149 -1.10707736 -57.216797 -63.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10639077--1.10707736) × R
    0.000686589999999931 × 6371000     		dl = 4374.26488999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10639077--1.10707736) × R
    0.000686589999999931 × 6371000     		dr = 4374.26488999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00015547--0.99862149) × cos(-1.10639077) × R
    0.00153397999999993 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 4377.2366033115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00015547--0.99862149) × cos(-1.10707736) × R
    0.00153397999999993 × 0.447277418712637 × 6371000     		du = 4371.23621061546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10639077)-sin(-1.10707736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.447277418712637)×R²
    abs(-0.99862149--1.00015547)×0.000613977380090558×R²
    0.00153397999999993×0.000613977380090558×6371000²
    0.00153397999999993×0.000613977380090558×40589641000000     		ar = 19134069.4871965m²