Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13959 / 3898
↖ ↑ ↗
← N 79.572483°
W 26.641846°		 ← 221.11 m → N 79.572483°
W 26.630859°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
N 79.570495°
W 26.641846°		 ← 221.15 m →
48 885 m²		 N 79.570495°
W 26.630859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426010131835938 y=0.118972778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426010131835938 × 215)
    floor (0.426010131835938 × 32768)
    floor (13959.5)     		tx = 13959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118972778320312 × 215)
    floor (0.118972778320312 × 32768)
    floor (3898.5)     		ty = 3898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13959 / 3898 ti = "15/13959/3898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13959/3898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13959 ÷ 215
    13959 ÷ 32768     		x = 0.425994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3898 ÷ 215
    3898 ÷ 32768     		y = 0.11895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.14801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46498793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11895751953125 × 2 - 1) × π
    0.7620849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39416051462408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46498793} λ = -0.46498793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39416051462408))-π/2
    2×atan(10.9589942809688)-π/2
    2×1.47979907985694-π/2
    2.95959815971387-1.57079632675     		φ = 1.38880183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46498793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.641846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38880183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.572483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13959 KachelY 3898 -0.46498793 1.38880183 -26.641846 79.572483
    Oben rechts KachelX + 1 13960 KachelY 3898 -0.46479618 1.38880183 -26.630859 79.572483
    Unten links KachelX 13959 KachelY + 1 3899 -0.46498793 1.38876713 -26.641846 79.570495
    Unten rechts KachelX + 1 13960 KachelY + 1 3899 -0.46479618 1.38876713 -26.630859 79.570495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38880183-1.38876713) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38880183-1.38876713) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46498793--0.46479618) × cos(1.38880183) × R
    0.000191749999999991 × 0.18099148912551 × 6371000     		do = 221.10630703166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46498793--0.46479618) × cos(1.38876713) × R
    0.000191749999999991 × 0.181025615934318 × 6371000     		du = 221.147997680777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38880183)-sin(1.38876713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18099148912551-0.181025615934318)×R²
    abs(-0.46479618--0.46498793)×3.41268088079605e-05×R²
    0.000191749999999991×3.41268088079605e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.41268088079605e-05×40589641000000     		ar = 48885.3977462713m²