Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13958 / 3588
↖ ↑ ↗
← N 80.171215°
W 26.652832°		 ← 208.53 m → N 80.171215°
W 26.641846°		 →
↑
208.52 m
↓
↑
208.52 m
↓
N 80.169339°
W 26.652832°		 ← 208.57 m →
43 487 m²		 N 80.169339°
W 26.641846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425979614257812 y=0.109512329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425979614257812 × 215)
    floor (0.425979614257812 × 32768)
    floor (13958.5)     		tx = 13958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109512329101562 × 215)
    floor (0.109512329101562 × 32768)
    floor (3588.5)     		ty = 3588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13958 / 3588 ti = "15/13958/3588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13958/3588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13958 ÷ 215
    13958 ÷ 32768     		x = 0.42596435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3588 ÷ 215
    3588 ÷ 32768     		y = 0.1094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.1480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46517967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1094970703125 × 2 - 1) × π
    0.781005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45360227015295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46517967} λ = -0.46517967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45360227015295))-π/2
    2×atan(11.630166352318)-π/2
    2×1.48502399401011-π/2
    2.97004798802022-1.57079632675     		φ = 1.39925166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46517967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.652832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39925166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.171215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13958 KachelY 3588 -0.46517967 1.39925166 -26.652832 80.171215
    Oben rechts KachelX + 1 13959 KachelY 3588 -0.46498793 1.39925166 -26.641846 80.171215
    Unten links KachelX 13958 KachelY + 1 3589 -0.46517967 1.39921893 -26.652832 80.169339
    Unten rechts KachelX + 1 13959 KachelY + 1 3589 -0.46498793 1.39921893 -26.641846 80.169339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39925166-1.39921893) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dl = 208.522830000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39925166-1.39921893) × R
    3.27300000000363e-05 × 6371000     		dr = 208.522830000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46517967--0.46498793) × cos(1.39925166) × R
    0.000191739999999996 × 0.170704546690468 × 6371000     		do = 208.528498803859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46517967--0.46498793) × cos(1.39921893) × R
    0.000191739999999996 × 0.170736796196627 × 6371000     		du = 208.567894011759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39925166)-sin(1.39921893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170704546690468-0.170736796196627)×R²
    abs(-0.46498793--0.46517967)×3.22495061582384e-05×R²
    0.000191739999999996×3.22495061582384e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.22495061582384e-05×40589641000000     		ar = 43487.060110326m²