Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13956 / 3919
↖ ↑ ↗
← N 79.530644°
W 26.674805°		 ← 221.98 m → N 79.530644°
W 26.663818°		 →
↑
222.03 m
↓
↑
222.03 m
↓
N 79.528647°
W 26.674805°		 ← 222.03 m →
49 292 m²		 N 79.528647°
W 26.663818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425918579101562 y=0.119613647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425918579101562 × 215)
    floor (0.425918579101562 × 32768)
    floor (13956.5)     		tx = 13956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119613647460938 × 215)
    floor (0.119613647460938 × 32768)
    floor (3919.5)     		ty = 3919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13956 / 3919 ti = "15/13956/3919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13956/3919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13956 ÷ 215
    13956 ÷ 32768     		x = 0.4259033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3919 ÷ 215
    3919 ÷ 32768     		y = 0.119598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4259033203125 × 2 - 1) × π
    -0.148193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46556317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119598388671875 × 2 - 1) × π
    0.76080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.390133815056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46556317} λ = -0.46556317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.390133815056))-π/2
    2×atan(10.9149544305605)-π/2
    2×1.47943395821986-π/2
    2.95886791643972-1.57079632675     		φ = 1.38807159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46556317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.674805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38807159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.530644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13956 KachelY 3919 -0.46556317 1.38807159 -26.674805 79.530644
    Oben rechts KachelX + 1 13957 KachelY 3919 -0.46537142 1.38807159 -26.663818 79.530644
    Unten links KachelX 13956 KachelY + 1 3920 -0.46556317 1.38803674 -26.674805 79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 13957 KachelY + 1 3920 -0.46537142 1.38803674 -26.663818 79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38807159-1.38803674) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dl = 222.029350000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38807159-1.38803674) × R
    3.48500000000307e-05 × 6371000     		dr = 222.029350000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46556317--0.46537142) × cos(1.38807159) × R
    0.000191750000000046 × 0.181709620644542 × 6371000     		do = 221.983604682036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46556317--0.46537142) × cos(1.38803674) × R
    0.000191750000000046 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 222.025469910919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38807159)-sin(1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181709620644542-0.181743890359503)×R²
    abs(-0.46537142--0.46556317)×3.42697149612048e-05×R²
    0.000191750000000046×3.42697149612048e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.42697149612048e-05×40589641000000     		ar = 49291.5231183084m²