Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13954 / 3962
↖ ↑ ↗
← N 79.444453°
W 26.696777°		 ← 223.78 m → N 79.444453°
W 26.685791°		 →
↑
223.81 m
↓
↑
223.81 m
↓
N 79.442440°
W 26.696777°		 ← 223.82 m →
50 089 m²		 N 79.442440°
W 26.685791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425857543945312 y=0.120925903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425857543945312 × 215)
    floor (0.425857543945312 × 32768)
    floor (13954.5)     		tx = 13954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120925903320312 × 215)
    floor (0.120925903320312 × 32768)
    floor (3962.5)     		ty = 3962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13954 / 3962 ti = "15/13954/3962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13954/3962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13954 ÷ 215
    13954 ÷ 32768     		x = 0.42584228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3962 ÷ 215
    3962 ÷ 32768     		y = 0.12091064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42584228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46594666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12091064453125 × 2 - 1) × π
    0.7581787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38188866832135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46594666} λ = -0.46594666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38188866832135))-π/2
    2×atan(10.8253290247353)-π/2
    2×1.4786818021814-π/2
    2.95736360436279-1.57079632675     		φ = 1.38656728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46594666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.696777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38656728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.444453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13954 KachelY 3962 -0.46594666 1.38656728 -26.696777 79.444453
    Oben rechts KachelX + 1 13955 KachelY 3962 -0.46575492 1.38656728 -26.685791 79.444453
    Unten links KachelX 13954 KachelY + 1 3963 -0.46594666 1.38653215 -26.696777 79.442440
    Unten rechts KachelX + 1 13955 KachelY + 1 3963 -0.46575492 1.38653215 -26.685791 79.442440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38656728-1.38653215) × R
    3.51299999998833e-05 × 6371000     		dl = 223.813229999257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38656728-1.38653215) × R
    3.51299999998833e-05 × 6371000     		dr = 223.813229999257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46594666--0.46575492) × cos(1.38656728) × R
    0.000191739999999996 × 0.183188681084233 × 6371000     		do = 223.778812017354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46594666--0.46575492) × cos(1.38653215) × R
    0.000191739999999996 × 0.183223216493341 × 6371000     		du = 223.820999628385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38656728)-sin(1.38653215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183188681084233-0.183223216493341)×R²
    abs(-0.46575492--0.46594666)×3.45354091086381e-05×R²
    0.000191739999999996×3.45354091086381e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.45354091086381e-05×40589641000000     		ar = 50089.3798011761m²