Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13953 / 3963
↖ ↑ ↗
← N 79.442440°
W 26.707764°		 ← 223.83 m → N 79.442440°
W 26.696777°		 →
↑
223.88 m
↓
↑
223.88 m
↓
N 79.440427°
W 26.707764°		 ← 223.87 m →
50 116 m²		 N 79.440427°
W 26.696777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425827026367188 y=0.120956420898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425827026367188 × 215)
    floor (0.425827026367188 × 32768)
    floor (13953.5)     		tx = 13953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120956420898438 × 215)
    floor (0.120956420898438 × 32768)
    floor (3963.5)     		ty = 3963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13953 / 3963 ti = "15/13953/3963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13953/3963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13953 ÷ 215
    13953 ÷ 32768     		x = 0.425811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3963 ÷ 215
    3963 ÷ 32768     		y = 0.120941162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425811767578125 × 2 - 1) × π
    -0.14837646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46613841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120941162109375 × 2 - 1) × π
    0.75811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38169692072287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46613841} λ = -0.46613841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38169692072287))-π/2
    2×atan(10.8232534928875)-π/2
    2×1.4786642375309-π/2
    2.95732847506179-1.57079632675     		φ = 1.38653215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46613841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.707764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38653215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.442440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13953 KachelY 3963 -0.46613841 1.38653215 -26.707764 79.442440
    Oben rechts KachelX + 1 13954 KachelY 3963 -0.46594666 1.38653215 -26.696777 79.442440
    Unten links KachelX 13953 KachelY + 1 3964 -0.46613841 1.38649701 -26.707764 79.440427
    Unten rechts KachelX + 1 13954 KachelY + 1 3964 -0.46594666 1.38649701 -26.696777 79.440427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38653215-1.38649701) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dl = 223.876940000284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38653215-1.38649701) × R
    3.51400000000446e-05 × 6371000     		dr = 223.876940000284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46613841--0.46594666) × cos(1.38653215) × R
    0.000191749999999991 × 0.183223216493341 × 6371000     		do = 223.832672779502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46613841--0.46594666) × cos(1.38649701) × R
    0.000191749999999991 × 0.18325776150698 × 6371000     		du = 223.874874324055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38653215)-sin(1.38649701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183223216493341-0.18325776150698)×R²
    abs(-0.46594666--0.46613841)×3.45450136389203e-05×R²
    0.000191749999999991×3.45450136389203e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.45450136389203e-05×40589641000000     		ar = 50115.697835361m²