Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 13952 / 16001
↖ ↑ ↗
← N 79.367194°
W141.679687°		 ← 56.36 m → N 79.367194°
W141.676941°		 →
↑
56.32 m
↓
↑
56.32 m
↓
N 79.366687°
W141.679687°		 ← 56.36 m →
3 174 m²		 N 79.366687°
W141.676941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106449127197266 y=0.122081756591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106449127197266 × 217)
    floor (0.106449127197266 × 131072)
    floor (13952.5)     		tx = 13952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122081756591797 × 217)
    floor (0.122081756591797 × 131072)
    floor (16001.5)     		ty = 16001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13952 / 16001 ti = "17/13952/16001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13952/16001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13952 ÷ 217
    13952 ÷ 131072     		x = 0.1064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16001 ÷ 217
    16001 ÷ 131072     		y = 0.122077941894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1064453125 × 2 - 1) × π
    -0.787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.47277703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122077941894531 × 2 - 1) × π
    0.755844116210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.37455432267948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47277703} λ = -2.47277703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37455432267948))-π/2
    2×atan(10.7462227708957)-π/2
    2×1.47800759013164-π/2
    2.95601518026327-1.57079632675     		φ = 1.38521885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47277703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38521885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.367194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13952 KachelY 16001 -2.47277703 1.38521885 -141.679687 79.367194
    Oben rechts KachelX + 1 13953 KachelY 16001 -2.47272909 1.38521885 -141.676941 79.367194
    Unten links KachelX 13952 KachelY + 1 16002 -2.47277703 1.38521001 -141.679687 79.366687
    Unten rechts KachelX + 1 13953 KachelY + 1 16002 -2.47272909 1.38521001 -141.676941 79.366687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38521885-1.38521001) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dl = 56.3196400000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38521885-1.38521001) × R
    8.84000000000995e-06 × 6371000     		dr = 56.3196400000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47277703--2.47272909) × cos(1.38521885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184514125700901 × 6371000     		do = 56.3553633826137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47277703--2.47272909) × cos(1.38521001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18452281390967 × 6371000     		du = 56.3580169852064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38521885)-sin(1.38521001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184514125700901-0.18452281390967)×R²
    abs(-2.47272909--2.47277703)×8.68820876950838e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.68820876950838e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.68820876950838e-06×40589641000000     		ar = 3173.98850260882m²