Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 13952 / 10880
↖ ↑ ↗
← N 76.016094°
W103.359375°		 ← 147.61 m → N 76.016094°
W103.353882°		 →
↑
147.62 m
↓
↑
147.62 m
↓
N 76.014766°
W103.359375°		 ← 147.63 m →
21 791 m²		 N 76.014766°
W103.353882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212898254394531 y=0.166023254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212898254394531 × 216)
    floor (0.212898254394531 × 65536)
    floor (13952.5)     		tx = 13952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166023254394531 × 216)
    floor (0.166023254394531 × 65536)
    floor (10880.5)     		ty = 10880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13952 / 10880 ti = "16/13952/10880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13952/10880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13952 ÷ 216
    13952 ÷ 65536     		x = 0.212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10880 ÷ 216
    10880 ÷ 65536     		y = 0.166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212890625 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80396141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166015625 × 2 - 1) × π
    0.66796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09848571776758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80396141} λ = -1.80396141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09848571776758))-π/2
    2×atan(8.1538133845587)-π/2
    2×1.44876372286263-π/2
    2.89752744572527-1.57079632675     		φ = 1.32673112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80396141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32673112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.016094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13952 KachelY 10880 -1.80396141 1.32673112 -103.359375 76.016094
    Oben rechts KachelX + 1 13953 KachelY 10880 -1.80386553 1.32673112 -103.353882 76.016094
    Unten links KachelX 13952 KachelY + 1 10881 -1.80396141 1.32670795 -103.359375 76.014766
    Unten rechts KachelX + 1 13953 KachelY + 1 10881 -1.80386553 1.32670795 -103.353882 76.014766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32673112-1.32670795) × R
    2.31699999999613e-05 × 6371000     		dl = 147.616069999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32673112-1.32670795) × R
    2.31699999999613e-05 × 6371000     		dr = 147.616069999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80396141--1.80386553) × cos(1.32673112) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.241649341163748 × 6371000     		do = 147.611857691145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80396141--1.80386553) × cos(1.32670795) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.241671824424445 × 6371000     		du = 147.625591624217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32673112)-sin(1.32670795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241649341163748-0.241671824424445)×R²
    abs(-1.80386553--1.80396141)×2.24832606970093e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.24832606970093e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.24832606970093e-05×40589641000000     		ar = 21790.895993154m²