Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 13951 / 10881
↖ ↑ ↗
← N 76.014766°
W103.364868°		 ← 147.61 m → N 76.014766°
W103.359375°		 →
↑
147.62 m
↓
↑
147.62 m
↓
N 76.013439°
W103.364868°		 ← 147.62 m →
21 791 m²		 N 76.013439°
W103.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212882995605469 y=0.166038513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212882995605469 × 216)
    floor (0.212882995605469 × 65536)
    floor (13951.5)     		tx = 13951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166038513183594 × 216)
    floor (0.166038513183594 × 65536)
    floor (10881.5)     		ty = 10881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13951 / 10881 ti = "16/13951/10881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13951/10881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13951 ÷ 216
    13951 ÷ 65536     		x = 0.212875366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10881 ÷ 216
    10881 ÷ 65536     		y = 0.166030883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212875366210938 × 2 - 1) × π
    -0.574249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80405728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166030883789062 × 2 - 1) × π
    0.667938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09838984396834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80405728} λ = -1.80405728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09838984396834))-π/2
    2×atan(8.15303168496408)-π/2
    2×1.44875213840352-π/2
    2.89750427680703-1.57079632675     		φ = 1.32670795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80405728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.364868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32670795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.014766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13951 KachelY 10881 -1.80405728 1.32670795 -103.364868 76.014766
    Oben rechts KachelX + 1 13952 KachelY 10881 -1.80396141 1.32670795 -103.359375 76.014766
    Unten links KachelX 13951 KachelY + 1 10882 -1.80405728 1.32668478 -103.364868 76.013439
    Unten rechts KachelX + 1 13952 KachelY + 1 10882 -1.80396141 1.32668478 -103.359375 76.013439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32670795-1.32668478) × R
    2.31700000001833e-05 × 6371000     		dl = 147.616070001168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32670795-1.32668478) × R
    2.31700000001833e-05 × 6371000     		dr = 147.616070001168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80405728--1.80396141) × cos(1.32670795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241671824424445 × 6371000     		do = 147.610194712035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80405728--1.80396141) × cos(1.32668478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.241694307555401 × 6371000     		du = 147.623927133454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32670795)-sin(1.32668478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241671824424445-0.241694307555401)×R²
    abs(-1.80396141--1.80405728)×2.24831309559859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.24831309559859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.24831309559859e-05×40589641000000     		ar = 21790.6503994978m²