Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13945 / 11007
↖ ↑ ↗
← N 50.743408°
W 26.795654°		 ← 773.01 m → N 50.743408°
W 26.784668°		 →
↑
773.12 m
↓
↑
773.12 m
↓
N 50.736455°
W 26.795654°		 ← 773.12 m →
597 672 m²		 N 50.736455°
W 26.784668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425582885742188 y=0.335922241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425582885742188 × 215)
    floor (0.425582885742188 × 32768)
    floor (13945.5)     		tx = 13945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335922241210938 × 215)
    floor (0.335922241210938 × 32768)
    floor (11007.5)     		ty = 11007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13945 / 11007 ti = "15/13945/11007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13945/11007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13945 ÷ 215
    13945 ÷ 32768     		x = 0.425567626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11007 ÷ 215
    11007 ÷ 32768     		y = 0.335906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.14886474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46767239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335906982421875 × 2 - 1) × π
    0.32818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03102683702817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46767239} λ = -0.46767239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03102683702817))-π/2
    2×atan(2.80394355003596)-π/2
    2×1.22821793276316-π/2
    2.45643586552632-1.57079632675     		φ = 0.88563954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46767239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.795654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88563954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.743408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13945 KachelY 11007 -0.46767239 0.88563954 -26.795654 50.743408
    Oben rechts KachelX + 1 13946 KachelY 11007 -0.46748065 0.88563954 -26.784668 50.743408
    Unten links KachelX 13945 KachelY + 1 11008 -0.46767239 0.88551819 -26.795654 50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 13946 KachelY + 1 11008 -0.46748065 0.88551819 -26.784668 50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88563954-0.88551819) × R
    0.00012135000000002 × 6371000     		dl = 773.120850000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88563954-0.88551819) × R
    0.00012135000000002 × 6371000     		dr = 773.120850000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46767239--0.46748065) × cos(0.88563954) × R
    0.000191739999999996 × 0.632794422419974 × 6371000     		do = 773.006188276651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46767239--0.46748065) × cos(0.88551819) × R
    0.000191739999999996 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 773.120966358149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88563954)-sin(0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632794422419974-0.632888381473458)×R²
    abs(-0.46748065--0.46767239)×9.39590534840828e-05×R²
    0.000191739999999996×9.39590534840828e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.39590534840828e-05×40589641000000     		ar = 597671.570733745m²