Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 13944 / 18568
↖ ↑ ↗
← N 61.249102°
W103.403320°		 ← 293.82 m → N 61.249102°
W103.397827°		 →
↑
293.83 m
↓
↑
293.83 m
↓
N 61.246460°
W103.403320°		 ← 293.85 m →
86 337 m²		 N 61.246460°
W103.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212776184082031 y=0.283332824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212776184082031 × 216)
    floor (0.212776184082031 × 65536)
    floor (13944.5)     		tx = 13944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283332824707031 × 216)
    floor (0.283332824707031 × 65536)
    floor (18568.5)     		ty = 18568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13944 / 18568 ti = "16/13944/18568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13944/18568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13944 ÷ 216
    13944 ÷ 65536     		x = 0.2127685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18568 ÷ 216
    18568 ÷ 65536     		y = 0.2833251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2127685546875 × 2 - 1) × π
    -0.574462890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80472840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2833251953125 × 2 - 1) × π
    0.433349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36140794920959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80472840} λ = -1.80472840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36140794920959))-π/2
    2×atan(3.90168280764078)-π/2
    2×1.31989741107052-π/2
    2.63979482214104-1.57079632675     		φ = 1.06899850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80472840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.403320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06899850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.249102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13944 KachelY 18568 -1.80472840 1.06899850 -103.403320 61.249102
    Oben rechts KachelX + 1 13945 KachelY 18568 -1.80463252 1.06899850 -103.397827 61.249102
    Unten links KachelX 13944 KachelY + 1 18569 -1.80472840 1.06895238 -103.403320 61.246460
    Unten rechts KachelX + 1 13945 KachelY + 1 18569 -1.80463252 1.06895238 -103.397827 61.246460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06899850-1.06895238) × R
    4.61199999999273e-05 × 6371000     		dl = 293.830519999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06899850-1.06895238) × R
    4.61199999999273e-05 × 6371000     		dr = 293.830519999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80472840--1.80463252) × cos(1.06899850) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481002504403885 × 6371000     		do = 293.821091698627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80472840--1.80463252) × cos(1.06895238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.481042938182739 × 6371000     		du = 293.845790732282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06899850)-sin(1.06895238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481002504403885-0.481042938182739)×R²
    abs(-1.80463252--1.80472840)×4.04337788538212e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.04337788538212e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.04337788538212e-05×40589641000000     		ar = 86337.232840869m²