Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 13943 / 11827
↖ ↑ ↗
← N 74.702103°
W103.408813°		 ← 161.15 m → N 74.702103°
W103.403320°		 →
↑
161.19 m
↓
↑
161.19 m
↓
N 74.700653°
W103.408813°		 ← 161.16 m →
25 976 m²		 N 74.700653°
W103.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212760925292969 y=0.180473327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212760925292969 × 216)
    floor (0.212760925292969 × 65536)
    floor (13943.5)     		tx = 13943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180473327636719 × 216)
    floor (0.180473327636719 × 65536)
    floor (11827.5)     		ty = 11827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 13943 / 11827 ti = "16/13943/11827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/13943/11827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13943 ÷ 216
    13943 ÷ 65536     		x = 0.212753295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11827 ÷ 216
    11827 ÷ 65536     		y = 0.180465698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212753295898438 × 2 - 1) × π
    -0.574493408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80482427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180465698242188 × 2 - 1) × π
    0.639068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.00769322988719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80482427} λ = -1.80482427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00769322988719))-π/2
    2×atan(7.44612103151907)-π/2
    2×1.43729698744416-π/2
    2.87459397488832-1.57079632675     		φ = 1.30379765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80482427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30379765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.702103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13943 KachelY 11827 -1.80482427 1.30379765 -103.408813 74.702103
    Oben rechts KachelX + 1 13944 KachelY 11827 -1.80472840 1.30379765 -103.403320 74.702103
    Unten links KachelX 13943 KachelY + 1 11828 -1.80482427 1.30377235 -103.408813 74.700653
    Unten rechts KachelX + 1 13944 KachelY + 1 11828 -1.80472840 1.30377235 -103.403320 74.700653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30379765-1.30377235) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dl = 161.18629999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30379765-1.30377235) × R
    2.52999999998949e-05 × 6371000     		dr = 161.18629999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80482427--1.80472840) × cos(1.30379765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.263837651726255 × 6371000     		do = 161.148810939913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80482427--1.80472840) × cos(1.30377235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.263862055189484 × 6371000     		du = 161.163716276798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30379765)-sin(1.30377235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263837651726255-0.263862055189484)×R²
    abs(-1.80472840--1.80482427)×2.44034632284063e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.44034632284063e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.44034632284063e-05×40589641000000     		ar = 25976.1818542553m²