Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13941 / 4322
↖ ↑ ↗
← N 78.694799°
W 26.839599°		 ← 239.47 m → N 78.694799°
W 26.828614°		 →
↑
239.49 m
↓
↑
239.49 m
↓
N 78.692645°
W 26.839599°		 ← 239.52 m →
57 355 m²		 N 78.692645°
W 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425460815429688 y=0.131912231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425460815429688 × 215)
    floor (0.425460815429688 × 32768)
    floor (13941.5)     		tx = 13941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131912231445312 × 215)
    floor (0.131912231445312 × 32768)
    floor (4322.5)     		ty = 4322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13941 / 4322 ti = "15/13941/4322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13941/4322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13941 ÷ 215
    13941 ÷ 32768     		x = 0.425445556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4322 ÷ 215
    4322 ÷ 32768     		y = 0.13189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425445556640625 × 2 - 1) × π
    -0.14910888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46843938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13189697265625 × 2 - 1) × π
    0.7362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31285953286847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46843938} λ = -0.46843938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31285953286847))-π/2
    2×atan(10.1032740316576)-π/2
    2×1.47213983957608-π/2
    2.94427967915215-1.57079632675     		φ = 1.37348335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46843938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.839599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37348335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.694799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13941 KachelY 4322 -0.46843938 1.37348335 -26.839599 78.694799
    Oben rechts KachelX + 1 13942 KachelY 4322 -0.46824764 1.37348335 -26.828614 78.694799
    Unten links KachelX 13941 KachelY + 1 4323 -0.46843938 1.37344576 -26.839599 78.692645
    Unten rechts KachelX + 1 13942 KachelY + 1 4323 -0.46824764 1.37344576 -26.828614 78.692645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37348335-1.37344576) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dl = 239.485890000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37348335-1.37344576) × R
    3.75900000000318e-05 × 6371000     		dr = 239.485890000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46843938--0.46824764) × cos(1.37348335) × R
    0.000191739999999996 × 0.196035155121667 × 6371000     		do = 239.471750476729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46843938--0.46824764) × cos(1.37344576) × R
    0.000191739999999996 × 0.196072015619435 × 6371000     		du = 239.516778359194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37348335)-sin(1.37344576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196035155121667-0.196072015619435)×R²
    abs(-0.46824764--0.46843938)×3.68604977679932e-05×R²
    0.000191739999999996×3.68604977679932e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.68604977679932e-05×40589641000000     		ar = 57355.4970707849m²