Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1394 / 2992
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
W 57.480469°		 ← 4 353.30 m → S 63.548552°
W 57.392578°		 →
↑
4 350.31 m
↓
↑
4 350.31 m
↓
S 63.587675°
W 57.480469°		 ← 4 347.32 m →
18 925 209 m²		 S 63.587675°
W 57.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3404541015625 y=0.7305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3404541015625 × 212)
    floor (0.3404541015625 × 4096)
    floor (1394.5)     		tx = 1394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7305908203125 × 212)
    floor (0.7305908203125 × 4096)
    floor (2992.5)     		ty = 2992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1394 / 2992 ti = "12/1394/2992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1394/2992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1394 ÷ 212
    1394 ÷ 4096     		x = 0.34033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2992 ÷ 212
    2992 ÷ 4096     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00322344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00322344} λ = -1.00322344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00322344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1394 KachelY 2992 -1.00322344 -1.10913147 -57.480469 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 1395 KachelY 2992 -1.00168945 -1.10913147 -57.392578 -63.548552
    Unten links KachelX 1394 KachelY + 1 2993 -1.00322344 -1.10981430 -57.480469 -63.587675
    Unten rechts KachelX + 1 1395 KachelY + 1 2993 -1.00168945 -1.10981430 -57.392578 -63.587675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.10981430) × R
    0.000682830000000134 × 6371000     		dl = 4350.30993000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.10981430) × R
    0.000682830000000134 × 6371000     		dr = 4350.30993000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00322344--1.00168945) × cos(-1.10913147) × R
    0.00153398999999999 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 4353.30058338133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00322344--1.00168945) × cos(-1.10981430) × R
    0.00153398999999999 × 0.444827840319719 × 6371000     		du = 4347.32485383666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.10981430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.444827840319719)×R²
    abs(-1.00168945--1.00322344)×0.000611449789712559×R²
    0.00153398999999999×0.000611449789712559×6371000²
    0.00153398999999999×0.000611449789712559×40589641000000     		ar = 18925209.3537079m²