Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1394 / 2990
↖ ↑ ↗
← S 63.470145°
W 57.480469°		 ← 4 365.27 m → S 63.470145°
W 57.392578°		 →
↑
4 362.29 m
↓
↑
4 362.29 m
↓
S 63.509376°
W 57.480469°		 ← 4 359.28 m →
19 029 504 m²		 S 63.509376°
W 57.392578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3404541015625 y=0.7301025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3404541015625 × 212)
    floor (0.3404541015625 × 4096)
    floor (1394.5)     		tx = 1394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7301025390625 × 212)
    floor (0.7301025390625 × 4096)
    floor (2990.5)     		ty = 2990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1394 / 2990 ti = "12/1394/2990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1394/2990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1394 ÷ 212
    1394 ÷ 4096     		x = 0.34033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2990 ÷ 212
    2990 ÷ 4096     		y = 0.72998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00322344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44500990214697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00322344} λ = -1.00322344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44500990214697))-π/2
    2×atan(0.235743742175123)-π/2
    2×0.231516662134198-π/2
    0.463033324268396-1.57079632675     		φ = -1.10776300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00322344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10776300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.470145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1394 KachelY 2990 -1.00322344 -1.10776300 -57.480469 -63.470145
    Oben rechts KachelX + 1 1395 KachelY 2990 -1.00168945 -1.10776300 -57.392578 -63.470145
    Unten links KachelX 1394 KachelY + 1 2991 -1.00322344 -1.10844771 -57.480469 -63.509376
    Unten rechts KachelX + 1 1395 KachelY + 1 2991 -1.00168945 -1.10844771 -57.392578 -63.509376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10776300--1.10844771) × R
    0.000684710000000033 × 6371000     		dl = 4362.28741000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10776300--1.10844771) × R
    0.000684710000000033 × 6371000     		dr = 4362.28741000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00322344--1.00168945) × cos(-1.10776300) × R
    0.00153398999999999 × 0.446664080450225 × 6371000     		do = 4365.27052097661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00322344--1.00168945) × cos(-1.10844771) × R
    0.00153398999999999 × 0.44605136456709 × 6371000     		du = 4359.28241783726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10776300)-sin(-1.10844771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446664080450225-0.44605136456709)×R²
    abs(-1.00168945--1.00322344)×0.000612715883134329×R²
    0.00153398999999999×0.000612715883134329×6371000²
    0.00153398999999999×0.000612715883134329×40589641000000     		ar = 19029504.4648987m²