Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 13937 / 15855
↖ ↑ ↗
← N 79.440931°
W141.720886°		 ← 55.96 m → N 79.440931°
W141.718140°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
N 79.440427°
W141.720886°		 ← 55.96 m →
3 134 m²		 N 79.440427°
W141.718140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106334686279297 y=0.120967864990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106334686279297 × 217)
    floor (0.106334686279297 × 131072)
    floor (13937.5)     		tx = 13937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120967864990234 × 217)
    floor (0.120967864990234 × 131072)
    floor (15855.5)     		ty = 15855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 13937 / 15855 ti = "17/13937/15855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/13937/15855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13937 ÷ 217
    13937 ÷ 131072     		x = 0.106330871582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15855 ÷ 217
    15855 ÷ 131072     		y = 0.120964050292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106330871582031 × 2 - 1) × π
    -0.787338256835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.47349608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120964050292969 × 2 - 1) × π
    0.758071899414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.38155311002401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47349608} λ = -2.47349608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38155311002401))-π/2
    2×atan(10.821697105154)-π/2
    2×1.47865106187003-π/2
    2.95730212374006-1.57079632675     		φ = 1.38650580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47349608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.720886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38650580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.440931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13937 KachelY 15855 -2.47349608 1.38650580 -141.720886 79.440931
    Oben rechts KachelX + 1 13938 KachelY 15855 -2.47344815 1.38650580 -141.718140 79.440931
    Unten links KachelX 13937 KachelY + 1 15856 -2.47349608 1.38649701 -141.720886 79.440427
    Unten rechts KachelX + 1 13938 KachelY + 1 15856 -2.47344815 1.38649701 -141.718140 79.440427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38650580-1.38649701) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dl = 56.0010899991701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38650580-1.38649701) × R
    8.78999999986974e-06 × 6371000     		dr = 56.0010899991701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47349608--2.47344815) × cos(1.38650580) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183249120359451 × 6371000     		do = 55.9573233887105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47349608--2.47344815) × cos(1.38649701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18325776150698 × 6371000     		du = 55.9599620670616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38650580)-sin(1.38649701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183249120359451-0.18325776150698)×R²
    abs(-2.47344815--2.47349608)×8.64114752907597e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.64114752907597e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.64114752907597e-06×40589641000000     		ar = 3133.74498756665m²