Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13935 / 11017
↖ ↑ ↗
← N 50.673835°
W 26.905518°		 ← 774.19 m → N 50.673835°
W 26.894531°		 →
↑
774.27 m
↓
↑
774.27 m
↓
N 50.666872°
W 26.905518°		 ← 774.31 m →
599 478 m²		 N 50.666872°
W 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425277709960938 y=0.336227416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425277709960938 × 215)
    floor (0.425277709960938 × 32768)
    floor (13935.5)     		tx = 13935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336227416992188 × 215)
    floor (0.336227416992188 × 32768)
    floor (11017.5)     		ty = 11017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13935 / 11017 ti = "15/13935/11017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13935/11017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13935 ÷ 215
    13935 ÷ 32768     		x = 0.425262451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11017 ÷ 215
    11017 ÷ 32768     		y = 0.336212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425262451171875 × 2 - 1) × π
    -0.14947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46958987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336212158203125 × 2 - 1) × π
    0.32757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02910936104337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46958987} λ = -0.46958987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02910936104337))-π/2
    2×atan(2.79857220697243)-π/2
    2×1.22761079825027-π/2
    2.45522159650055-1.57079632675     		φ = 0.88442527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46958987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.905518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88442527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.673835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13935 KachelY 11017 -0.46958987 0.88442527 -26.905518 50.673835
    Oben rechts KachelX + 1 13936 KachelY 11017 -0.46939812 0.88442527 -26.894531 50.673835
    Unten links KachelX 13935 KachelY + 1 11018 -0.46958987 0.88430374 -26.905518 50.666872
    Unten rechts KachelX + 1 13936 KachelY + 1 11018 -0.46939812 0.88430374 -26.894531 50.666872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88442527-0.88430374) × R
    0.000121530000000036 × 6371000     		dl = 774.267630000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88442527-0.88430374) × R
    0.000121530000000036 × 6371000     		dr = 774.267630000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46958987--0.46939812) × cos(0.88442527) × R
    0.000191750000000046 × 0.633734189032109 × 6371000     		do = 774.19455938873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46958987--0.46939812) × cos(0.88430374) × R
    0.000191750000000046 × 0.633828193991419 × 6371000     		du = 774.309399536717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88442527)-sin(0.88430374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633734189032109-0.633828193991419)×R²
    abs(-0.46939812--0.46958987)×9.40049593098902e-05×R²
    0.000191750000000046×9.40049593098902e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.40049593098902e-05×40589641000000     		ar = 599478.245898924m²