Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13935 / 11012
↖ ↑ ↗
← N 50.708634°
W 26.905518°		 ← 773.62 m → N 50.708634°
W 26.894531°		 →
↑
773.69 m
↓
↑
773.69 m
↓
N 50.701676°
W 26.905518°		 ← 773.74 m →
598 590 m²		 N 50.701676°
W 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425277709960938 y=0.336074829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425277709960938 × 215)
    floor (0.425277709960938 × 32768)
    floor (13935.5)     		tx = 13935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336074829101562 × 215)
    floor (0.336074829101562 × 32768)
    floor (11012.5)     		ty = 11012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13935 / 11012 ti = "15/13935/11012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13935/11012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13935 ÷ 215
    13935 ÷ 32768     		x = 0.425262451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11012 ÷ 215
    11012 ÷ 32768     		y = 0.3360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425262451171875 × 2 - 1) × π
    -0.14947509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46958987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3360595703125 × 2 - 1) × π
    0.327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03006809903577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46958987} λ = -0.46958987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03006809903577))-π/2
    2×atan(2.80125659107663)-π/2
    2×1.22791447813038-π/2
    2.45582895626077-1.57079632675     		φ = 0.88503263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46958987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.905518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88503263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.708634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13935 KachelY 11012 -0.46958987 0.88503263 -26.905518 50.708634
    Oben rechts KachelX + 1 13936 KachelY 11012 -0.46939812 0.88503263 -26.894531 50.708634
    Unten links KachelX 13935 KachelY + 1 11013 -0.46958987 0.88491119 -26.905518 50.701676
    Unten rechts KachelX + 1 13936 KachelY + 1 11013 -0.46939812 0.88491119 -26.894531 50.701676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88503263-0.88491119) × R
    0.000121440000000028 × 6371000     		dl = 773.69424000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88503263-0.88491119) × R
    0.000121440000000028 × 6371000     		dr = 773.69424000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46958987--0.46939812) × cos(0.88503263) × R
    0.000191750000000046 × 0.633264248305253 × 6371000     		do = 773.620461351628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46958987--0.46939812) × cos(0.88491119) × R
    0.000191750000000046 × 0.633358230380886 × 6371000     		du = 773.735273544019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88503263)-sin(0.88491119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633264248305253-0.633358230380886)×R²
    abs(-0.46939812--0.46958987)×9.3982075633714e-05×R²
    0.000191750000000046×9.3982075633714e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.3982075633714e-05×40589641000000     		ar = 598590.110396278m²