Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13932 / 3656
↖ ↑ ↗
← N 80.042864°
W 26.938476°		 ← 211.24 m → N 80.042864°
W 26.927490°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
N 80.040964°
W 26.938476°		 ← 211.28 m →
44 630 m²		 N 80.040964°
W 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425186157226562 y=0.111587524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425186157226562 × 215)
    floor (0.425186157226562 × 32768)
    floor (13932.5)     		tx = 13932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111587524414062 × 215)
    floor (0.111587524414062 × 32768)
    floor (3656.5)     		ty = 3656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13932 / 3656 ti = "15/13932/3656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13932/3656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13932 ÷ 215
    13932 ÷ 32768     		x = 0.4251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3656 ÷ 215
    3656 ÷ 32768     		y = 0.111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    -0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111572265625 × 2 - 1) × π
    0.77685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4405634334563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47016511} λ = -0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4405634334563))-π/2
    2×atan(11.4795068592369)-π/2
    2×1.48390392095357-π/2
    2.96780784190713-1.57079632675     		φ = 1.39701152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39701152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13932 KachelY 3656 -0.47016511 1.39701152 -26.938476 80.042864
    Oben rechts KachelX + 1 13933 KachelY 3656 -0.46997336 1.39701152 -26.927490 80.042864
    Unten links KachelX 13932 KachelY + 1 3657 -0.47016511 1.39697836 -26.938476 80.040964
    Unten rechts KachelX + 1 13933 KachelY + 1 3657 -0.46997336 1.39697836 -26.927490 80.040964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39701152-1.39697836) × R
    3.31599999998655e-05 × 6371000     		dl = 211.262359999143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39701152-1.39697836) × R
    3.31599999998655e-05 × 6371000     		dr = 211.262359999143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47016511--0.46997336) × cos(1.39701152) × R
    0.000191749999999991 × 0.172911376336893 × 6371000     		do = 211.235324104659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47016511--0.46997336) × cos(1.39697836) × R
    0.000191749999999991 × 0.172944036765568 × 6371000     		du = 211.27522336625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39701152)-sin(1.39697836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172911376336893-0.172944036765568)×R²
    abs(-0.46997336--0.47016511)×3.26604286750021e-05×R²
    0.000191749999999991×3.26604286750021e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.26604286750021e-05×40589641000000     		ar = 44630.2876957576m²