Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13930 / 3274
↖ ↑ ↗
← N 80.742958°
W 26.960449°		 ← 196.52 m → N 80.742958°
W 26.949463°		 →
↑
196.55 m
↓
↑
196.55 m
↓
N 80.741191°
W 26.960449°		 ← 196.55 m →
38 628 m²		 N 80.741191°
W 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425125122070312 y=0.0999298095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425125122070312 × 215)
    floor (0.425125122070312 × 32768)
    floor (13930.5)     		tx = 13930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0999298095703125 × 215)
    floor (0.0999298095703125 × 32768)
    floor (3274.5)     		ty = 3274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13930 / 3274 ti = "15/13930/3274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13930/3274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13930 ÷ 215
    13930 ÷ 32768     		x = 0.42510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3274 ÷ 215
    3274 ÷ 32768     		y = 0.09991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.1497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47054861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09991455078125 × 2 - 1) × π
    0.8001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.51381101607574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47054861} λ = -0.47054861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51381101607574))-π/2
    2×atan(12.3519138178438)-π/2
    2×1.49001339922994-π/2
    2.98002679845988-1.57079632675     		φ = 1.40923047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47054861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.960449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40923047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.742958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13930 KachelY 3274 -0.47054861 1.40923047 -26.960449 80.742958
    Oben rechts KachelX + 1 13931 KachelY 3274 -0.47035686 1.40923047 -26.949463 80.742958
    Unten links KachelX 13930 KachelY + 1 3275 -0.47054861 1.40919962 -26.960449 80.741191
    Unten rechts KachelX + 1 13931 KachelY + 1 3275 -0.47035686 1.40919962 -26.949463 80.741191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40923047-1.40919962) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dl = 196.545349999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40923047-1.40919962) × R
    3.08499999999157e-05 × 6371000     		dr = 196.545349999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47054861--0.47035686) × cos(1.40923047) × R
    0.000191749999999991 × 0.160863867215598 × 6371000     		do = 196.517614097353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47054861--0.47035686) × cos(1.40919962) × R
    0.000191749999999991 × 0.160894315367268 × 6371000     		du = 196.554810754523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40923047)-sin(1.40919962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160863867215598-0.160894315367268)×R²
    abs(-0.47035686--0.47054861)×3.04481516699429e-05×R²
    0.000191749999999991×3.04481516699429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.04481516699429e-05×40589641000000     		ar = 38628.2786615104m²