Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1393 / 2987
↖ ↑ ↗
← S 63.352129°
W 57.568360°		 ← 4 383.24 m → S 63.352129°
W 57.480469°		 →
↑
4 380.25 m
↓
↑
4 380.25 m
↓
S 63.391522°
W 57.568360°		 ← 4 377.24 m →
19 186 562 m²		 S 63.391522°
W 57.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1393 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3402099609375 y=0.7293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3402099609375 × 212)
    floor (0.3402099609375 × 4096)
    floor (1393.5)     		tx = 1393
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7293701171875 × 212)
    floor (0.7293701171875 × 4096)
    floor (2987.5)     		ty = 2987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1393 / 2987 ti = "12/1393/2987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1393/2987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1393 ÷ 212
    1393 ÷ 4096     		x = 0.340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2987 ÷ 212
    2987 ÷ 4096     		y = 0.729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.31982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.00475742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.45849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44040795978345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00475742} λ = -1.00475742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44040795978345))-π/2
    2×atan(0.2368311213984)-π/2
    2×0.232546541319808-π/2
    0.465093082639616-1.57079632675     		φ = -1.10570324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00475742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.568360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10570324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.352129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1393 KachelY 2987 -1.00475742 -1.10570324 -57.568360 -63.352129
    Oben rechts KachelX + 1 1394 KachelY 2987 -1.00322344 -1.10570324 -57.480469 -63.352129
    Unten links KachelX 1393 KachelY + 1 2988 -1.00475742 -1.10639077 -57.568360 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 1394 KachelY + 1 2988 -1.00322344 -1.10639077 -57.480469 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10570324--1.10639077) × R
    0.000687529999999992 × 6371000     		dl = 4380.25362999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10570324--1.10639077) × R
    0.000687529999999992 × 6371000     		dr = 4380.25362999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00475742--1.00322344) × cos(-1.10570324) × R
    0.00153398000000005 × 0.44850600248744 × 6371000     		do = 4383.24314335933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00475742--1.00322344) × cos(-1.10639077) × R
    0.00153398000000005 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 4377.23660331182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10570324)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44850600248744-0.447891396092727)×R²
    abs(-1.00322344--1.00475742)×0.000614606394712891×R²
    0.00153398000000005×0.000614606394712891×6371000²
    0.00153398000000005×0.000614606394712891×40589641000000     		ar = 19186562.3612375m²