Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13929 / 3885
↖ ↑ ↗
← N 79.598301°
W 26.971435°		 ← 220.55 m → N 79.598301°
W 26.960449°		 →
↑
220.56 m
↓
↑
220.56 m
↓
N 79.596318°
W 26.971435°		 ← 220.59 m →
48 651 m²		 N 79.596318°
W 26.960449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425094604492188 y=0.118576049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425094604492188 × 215)
    floor (0.425094604492188 × 32768)
    floor (13929.5)     		tx = 13929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118576049804688 × 215)
    floor (0.118576049804688 × 32768)
    floor (3885.5)     		ty = 3885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13929 / 3885 ti = "15/13929/3885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13929/3885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13929 ÷ 215
    13929 ÷ 32768     		x = 0.425079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3885 ÷ 215
    3885 ÷ 32768     		y = 0.118560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425079345703125 × 2 - 1) × π
    -0.14984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47074035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118560791015625 × 2 - 1) × π
    0.76287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39665323340433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47074035} λ = -0.47074035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39665323340433))-π/2
    2×atan(10.9863460477941)-π/2
    2×1.48002438400262-π/2
    2.96004876800523-1.57079632675     		φ = 1.38925244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47074035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38925244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.598301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13929 KachelY 3885 -0.47074035 1.38925244 -26.971435 79.598301
    Oben rechts KachelX + 1 13930 KachelY 3885 -0.47054861 1.38925244 -26.960449 79.598301
    Unten links KachelX 13929 KachelY + 1 3886 -0.47074035 1.38921782 -26.971435 79.596318
    Unten rechts KachelX + 1 13930 KachelY + 1 3886 -0.47054861 1.38921782 -26.960449 79.596318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38925244-1.38921782) × R
    3.46199999998742e-05 × 6371000     		dl = 220.564019999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38925244-1.38921782) × R
    3.46199999998742e-05 × 6371000     		dr = 220.564019999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47074035--0.47054861) × cos(1.38925244) × R
    0.000191739999999996 × 0.180548302741751 × 6371000     		do = 220.553390417833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47074035--0.47054861) × cos(1.38921782) × R
    0.000191739999999996 × 0.180582353692585 × 6371000     		du = 220.594986226486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38925244)-sin(1.38921782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180548302741751-0.180582353692585)×R²
    abs(-0.47054861--0.47074035)×3.40509508340858e-05×R²
    0.000191739999999996×3.40509508340858e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.40509508340858e-05×40589641000000     		ar = 48650.7296896394m²