Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13928 / 3896
↖ ↑ ↗
← N 79.576460°
W 26.982422°		 ← 221.02 m → N 79.576460°
W 26.971435°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
N 79.574472°
W 26.982422°		 ← 221.06 m →
48 867 m²		 N 79.574472°
W 26.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425064086914062 y=0.118911743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425064086914062 × 215)
    floor (0.425064086914062 × 32768)
    floor (13928.5)     		tx = 13928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118911743164062 × 215)
    floor (0.118911743164062 × 32768)
    floor (3896.5)     		ty = 3896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13928 / 3896 ti = "15/13928/3896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13928/3896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13928 ÷ 215
    13928 ÷ 32768     		x = 0.425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3896 ÷ 215
    3896 ÷ 32768     		y = 0.118896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118896484375 × 2 - 1) × π
    0.76220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39454400982105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47093210} λ = -0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39454400982105))-π/2
    2×atan(10.9631978086038)-π/2
    2×1.47983377799593-π/2
    2.95966755599186-1.57079632675     		φ = 1.38887123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38887123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.576460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13928 KachelY 3896 -0.47093210 1.38887123 -26.982422 79.576460
    Oben rechts KachelX + 1 13929 KachelY 3896 -0.47074035 1.38887123 -26.971435 79.576460
    Unten links KachelX 13928 KachelY + 1 3897 -0.47093210 1.38883653 -26.982422 79.574472
    Unten rechts KachelX + 1 13929 KachelY + 1 3897 -0.47074035 1.38883653 -26.971435 79.574472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38887123-1.38883653) × R
    3.46999999998321e-05 × 6371000     		dl = 221.07369999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38887123-1.38883653) × R
    3.46999999998321e-05 × 6371000     		dr = 221.07369999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47093210--0.47074035) × cos(1.38887123) × R
    0.000191750000000046 × 0.180923234854145 × 6371000     		do = 221.022924934845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47093210--0.47074035) × cos(1.38883653) × R
    0.000191750000000046 × 0.180957362098772 × 6371000     		du = 221.064616116375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38887123)-sin(1.38883653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180923234854145-0.180957362098772)×R²
    abs(-0.47074035--0.47093210)×3.41272446267304e-05×R²
    0.000191750000000046×3.41272446267304e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.41272446267304e-05×40589641000000     		ar = 48866.9642170895m²