Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13925 / 4316
↖ ↑ ↗
← N 78.707714°
W 27.015381°		 ← 239.20 m → N 78.707714°
W 27.004395°		 →
↑
239.23 m
↓
↑
239.23 m
↓
N 78.705563°
W 27.015381°		 ← 239.25 m →
57 230 m²		 N 78.705563°
W 27.004395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424972534179688 y=0.131729125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424972534179688 × 215)
    floor (0.424972534179688 × 32768)
    floor (13925.5)     		tx = 13925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131729125976562 × 215)
    floor (0.131729125976562 × 32768)
    floor (4316.5)     		ty = 4316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13925 / 4316 ti = "15/13925/4316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13925/4316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13925 ÷ 215
    13925 ÷ 32768     		x = 0.424957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4316 ÷ 215
    4316 ÷ 32768     		y = 0.1317138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1317138671875 × 2 - 1) × π
    0.736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31401001845935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47150734} λ = -0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31401001845935))-π/2
    2×atan(10.1149043918498)-π/2
    2×1.47225254379813-π/2
    2.94450508759626-1.57079632675     		φ = 1.37370876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37370876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.707714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13925 KachelY 4316 -0.47150734 1.37370876 -27.015381 78.707714
    Oben rechts KachelX + 1 13926 KachelY 4316 -0.47131560 1.37370876 -27.004395 78.707714
    Unten links KachelX 13925 KachelY + 1 4317 -0.47150734 1.37367121 -27.015381 78.705563
    Unten rechts KachelX + 1 13926 KachelY + 1 4317 -0.47131560 1.37367121 -27.004395 78.705563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37370876-1.37367121) × R
    3.75500000000528e-05 × 6371000     		dl = 239.231050000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37370876-1.37367121) × R
    3.75500000000528e-05 × 6371000     		dr = 239.231050000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47150734--0.47131560) × cos(1.37370876) × R
    0.000191739999999996 × 0.195814113803233 × 6371000     		do = 239.201731808801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47150734--0.47131560) × cos(1.37367121) × R
    0.000191739999999996 × 0.195850936735912 × 6371000     		du = 239.246713802672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37370876)-sin(1.37367121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195814113803233-0.195850936735912)×R²
    abs(-0.47131560--0.47150734)×3.68229326783709e-05×R²
    0.000191739999999996×3.68229326783709e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.68229326783709e-05×40589641000000     		ar = 57229.8620140647m²