Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13923 / 4318
↖ ↑ ↗
← N 78.703411°
W 27.037354°		 ← 239.30 m → N 78.703411°
W 27.026367°		 →
↑
239.29 m
↓
↑
239.29 m
↓
N 78.701259°
W 27.037354°		 ← 239.35 m →
57 270 m²		 N 78.701259°
W 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424911499023438 y=0.131790161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424911499023438 × 215)
    floor (0.424911499023438 × 32768)
    floor (13923.5)     		tx = 13923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131790161132812 × 215)
    floor (0.131790161132812 × 32768)
    floor (4318.5)     		ty = 4318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13923 / 4318 ti = "15/13923/4318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13923/4318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13923 ÷ 215
    13923 ÷ 32768     		x = 0.424896240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4318 ÷ 215
    4318 ÷ 32768     		y = 0.13177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.424896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.15020751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.47189084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13177490234375 × 2 - 1) × π
    0.7364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31362652326239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47189084} λ = -0.47189084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31362652326239))-π/2
    2×atan(10.111026118295)-π/2
    2×1.47221498985121-π/2
    2.94442997970243-1.57079632675     		φ = 1.37363365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47189084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.037354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37363365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.703411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13923 KachelY 4318 -0.47189084 1.37363365 -27.037354 78.703411
    Oben rechts KachelX + 1 13924 KachelY 4318 -0.47169909 1.37363365 -27.026367 78.703411
    Unten links KachelX 13923 KachelY + 1 4319 -0.47189084 1.37359609 -27.037354 78.701259
    Unten rechts KachelX + 1 13924 KachelY + 1 4319 -0.47169909 1.37359609 -27.026367 78.701259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37363365-1.37359609) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dl = 239.294759999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37363365-1.37359609) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dr = 239.294759999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47189084--0.47169909) × cos(1.37363365) × R
    0.000191749999999991 × 0.195887769198703 × 6371000     		do = 239.304187448065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47189084--0.47169909) × cos(1.37359609) × R
    0.000191749999999991 × 0.195924601385145 × 6371000     		du = 239.349183092686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37363365)-sin(1.37359609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195887769198703-0.195924601385145)×R²
    abs(-0.47169909--0.47189084)×3.68321864418486e-05×R²
    0.000191749999999991×3.68321864418486e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.68321864418486e-05×40589641000000     		ar = 57269.6217204634m²